Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) (1,5 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ \lambda & -2 \\ 3 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & \lambda \\ \lambda & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Se trata de un sistema de 3 ecuaciones con 2 incógnitas ($x, y$). Para discutir su solvencia, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, analizando los rangos de $A$ y $A^*$. 💡 **Tip:** El rango de $A$ como máximo puede ser 2, ya que solo tiene 2 columnas. El rango de $A^*$ puede ser hasta 3. Si $\text{rg}(A^*) = 3$, el sistema será incompatible.

Como $A^*$ es una matriz cuadrada de orden 3, empezamos calculando su determinante para ver cuándo su rango es 3: $$|A^*| = \begin{vmatrix} 2 & -1 & \lambda \\ \lambda & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la **regla de Sarrus**: $$|A^*| = [2 \cdot (-2) \cdot 2 + (-1) \cdot 4 \cdot 3 + \lambda \cdot \lambda \cdot (-1)] - [3 \cdot (-2) \cdot \lambda + (-1) \cdot \lambda \cdot 2 + 2 \cdot 4 \cdot (-1)]$$ $$|A^*| = [-8 - 12 - \lambda^2] - [-6\lambda - 2\lambda - 8]$$ $$|A^*| = -20 - \lambda^2 + 8\lambda + 8 = -\lambda^2 + 8\lambda - 12$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos de $\lambda$: $$-\lambda^2 + 8\lambda - 12 = 0 \implies \lambda^2 - 8\lambda + 12 = 0$$ Resolviendo la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{8 \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 48}}{2} = \frac{8 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: **$\lambda_1 = 6$** y **$\lambda_2 = 2$**.

Analizamos el sistema según los valores de $\lambda$ obtenidos: **Caso 1: $\lambda \neq 2$ y $\lambda \neq 6$** En este caso, $|A^*| \neq 0$, lo que implica que $\text{rg}(A^*) = 3$. Como el rango de $A$ no puede ser mayor que 2 (número de columnas), $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$. Por el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Incompatible (S.I.)**, no tiene solución. **Caso 2: $\lambda = 2$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Como $|A^*| = 0$, $\text{rg}(A^*) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 2 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 2 = -2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Como $\text{rg}(A) = 2$ y $\text{rg}(A^*) \lt 3$, necesariamente $\text{rg}(A^*) = 2$. Así, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 = n$ (nº de incógnitas). El sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. **Caso 3: $\lambda = 6$** La matriz ampliada queda: $$A^* = \begin{pmatrix} 2 & -1 & 6 \\ 6 & -2 & 4 \\ 3 & -1 & 2 \end{pmatrix}$$ Similar al caso anterior, $|A^*| = 0$ y en $A$ existe el menor: $$\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 6 & -2 \end{vmatrix} = -4 + 6 = 2 \neq 0 \implies \text{rg}(A) = 2$$ Por tanto, $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 = n$. El sistema es **Compatible Determinado (S.C.D.)**. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 2, 6: \text{Sistema Incompatible} \\ \lambda = 2: \text{S.C. Determinado} \\ \lambda = 6: \text{S.C. Determinado} \end{cases}}$$

**b) (0,5 puntos). Resolver el sistema cuando sea posible.** El sistema es posible para $\lambda = 2$ y $\lambda = 6$. **Para $\lambda = 2$:** El sistema es: $$\begin{cases} 2x - y = 2 \\ 2x - 2y = 4 \\ 3x - y = 2 \end{cases}$$ Utilizamos la primera y la tercera ecuación para resolver (ya que el rango es 2, una ecuación sobra, y estas son linealmente independientes): $$\begin{cases} 2x - y = 2 \\ 3x - y = 2 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(3x - 2x) + (-y + y) = 2 - 2 \implies \mathbf{x = 0}$. Sustituyendo en la primera: $2(0) - y = 2 \implies \mathbf{y = -2}$. Comprobamos en la ecuación que no hemos usado (la segunda): $2(0) - 2(-2) = 4 \implies 4 = 4$. Correcto. ✅ **Solución para $\lambda = 2$:** $$\boxed{x = 0, y = -2}$$

**Para $\lambda = 6$:** El sistema es: $$\begin{cases} 2x - y = 6 \\ 6x - 2y = 4 \\ 3x - y = 2 \end{cases}$$ Utilizamos la primera y la tercera ecuación: $$\begin{cases} 2x - y = 6 \\ 3x - y = 2 \end{cases}$$ Restando la primera a la segunda: $(3x - 2x) + (-y + y) = 2 - 6 \implies \mathbf{x = -4}$. Sustituyendo en la primera: $2(-4) - y = 6 \implies -8 - y = 6 \implies \mathbf{y = -14}$. Comprobamos en la segunda ecuación: $6(-4) - 2(-14) = -24 + 28 = 4$. Correcto. ✅ **Solución para $\lambda = 6$:** $$\boxed{x = -4, y = -14}$$