Estudio de crecimiento, extremos e integración de una función

**a) (1 punto). Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f$.** Para estudiar el crecimiento y decrecimiento de $f$, debemos analizar el signo de su primera derivada $f'(x) = (x - 1)^3 (x - 5)$. Primero, calculamos los puntos críticos igualando la derivada a cero: $$(x - 1)^3 (x - 5) = 0 \implies x_1 = 1, \quad x_2 = 5.$$ Estos puntos dividen la recta real en tres intervalos: $(-\infty, 1)$, $(1, 5)$ y $(5, +\infty)$. Evaluamos el signo de $f'(x)$ en cada uno: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 5) & 5 & (5, +\infty) \\ \hline (x-1)^3 & - & 0 & + & + & + \\ (x-5) & - & - & - & 0 & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ Interpretación de los resultados: - En $(-\infty, 1)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. - En $(1, 5)$, $f'(x) \lt 0$, por lo que $f$ es **decreciente**. - En $(5, +\infty)$, $f'(x) \gt 0$, por lo que $f$ es **creciente**. 💡 **Tip:** Recuerda que una función crece cuando su derivada es positiva y decrece cuando su derivada es negativa. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Creciente en } (-\infty, 1) \cup (5, +\infty) \text{ y decreciente en } (1, 5)}$$

**b) (1 punto). Los valores de $x$ en los cuales $f$ tiene máximos relativos, mínimos relativos, o puntos de inflexión.** Utilizando el estudio de la monotonía realizado en el apartado anterior, identificamos los extremos relativos basándonos en el cambio de signo de $f'(x)$: 1. En $x = 1$, la función pasa de ser creciente a decreciente, por lo que existe un **máximo relativo**. 2. En $x = 5$, la función pasa de ser decreciente a creciente, por lo que existe un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado (extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } x = 1, \text{ Mínimo relativo en } x = 5}$$

Para hallar los puntos de inflexión, estudiamos el signo de la segunda derivada $f''(x)$. Derivamos $f'(x) = (x-1)^3(x-5)$ usando la regla del producto: $$f''(x) = 3(x-1)^2(x-5) + (x-1)^3 \cdot 1$$ Factorizamos $(x-1)^2$: $$f''(x) = (x-1)^2 [3(x-5) + (x-1)] = (x-1)^2 [3x - 15 + x - 1] = (x-1)^2 (4x - 16)$$ $$f''(x) = 4(x-1)^2 (x - 4)$$ Igualamos a cero para encontrar posibles puntos de inflexión: $$4(x-1)^2 (x - 4) = 0 \implies x = 1, \quad x = 4.$$ Analizamos el cambio de curvatura mediante el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline (x-1)^2 & + & 0 & + & + & + \\ (x-4) & - & - & - & 0 & + \\ \hline f''(x) & - & 0 & - & 0 & + \end{array}$$ - En $x = 1$, $f''(x)$ no cambia de signo (se mantiene negativa), por lo que no hay punto de inflexión allí (es un máximo relativo "plano"). - En $x = 4$, $f''(x)$ cambia de negativa a positiva, por lo que existe un **punto de inflexión**. 💡 **Tip:** Un punto de inflexión requiere que la segunda derivada sea cero y que haya un cambio real en el signo de la curvatura a su alrededor. ✅ **Resultado (inflexión):** $$\boxed{\text{Punto de inflexión en } x = 4}$$

**d) (1 punto). La función $f$ sabiendo que $f(0) = 0$.** Para obtener $f(x)$, debemos calcular la integral indefinida de $f'(x)$: $$f(x) = \int (x - 1)^3 (x - 5) \, dx$$ Primero, desarrollamos el binomio al cubo $(x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$: $$(x - 1)^3 (x - 5) = (x^3 - 3x^2 + 3x - 1)(x - 5)$$ $$= x^4 - 5x^3 - 3x^3 + 15x^2 + 3x^2 - 15x - x + 5$$ $$= x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 16x + 5$$ Ahora integramos término a término: $$f(x) = \int (x^4 - 8x^3 + 18x^2 - 16x + 5) \, dx = \frac{x^5}{5} - \frac{8x^4}{4} + \frac{18x^3}{3} - \frac{16x^2}{2} + 5x + C$$ $$f(x) = \frac{1}{5}x^5 - 2x^4 + 6x^3 - 8x^2 + 5x + C$$ Aplicamos la condición inicial $f(0) = 0$: $$f(0) = \frac{1}{5}(0)^5 - 2(0)^4 + 6(0)^3 - 8(0)^2 + 5(0) + C = 0 \implies C = 0$$ 💡 **Tip:** Al integrar un polinomio, recuerda sumarle uno al exponente y dividir por el nuevo exponente: $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) = \dfrac{x^5}{5} - 2x^4 + 6x^3 - 8x^2 + 5x}$$