Rectas y planos en el espacio. Distancia entre rectas

**a) (1 punto). Hallar la ecuación del plano $\pi$ que contiene a $r$ y es paralelo a $s$.** Para obtener la ecuación de un plano necesitamos un punto contenido en él y dos vectores directores (o un vector normal). Extraemos la información de las rectas dadas en forma continua: - Recta $r$: Pasa por el punto $P_r(1, 2, 0)$ y tiene como vector director $\vec{v}_r = (2, 3, 1)$. - Recta $s$: Pasa por el punto $P_s(-2, 0, 2)$ y tiene como vector director $\vec{v}_s = (2, 1, 1)$. Como el plano $\pi$ debe contener a $r$, contendrá al punto $P_r$ y su vector director será $\vec{v}_r$. Al ser paralelo a $s$, su segundo vector director será $\vec{v}_s$. 💡 **Tip:** Si un plano contiene a una recta, el vector director de la recta es vector director del plano. Si es paralelo a otra recta, el vector director de esta también sirve para definir el plano (siempre que no sean paralelos entre sí).

Calculamos el vector normal $\vec{n}_\pi$ mediante el producto vectorial de los vectores directores: $$\vec{n}_\pi = \vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$\vec{n}_\pi = (3 \cdot 1)\mathbf{i} + (1 \cdot 2)\mathbf{j} + (2 \cdot 1)\mathbf{k} - (3 \cdot 2)\mathbf{k} - (1 \cdot 1)\mathbf{i} - (2 \cdot 1)\mathbf{j}$$ $$\vec{n}_\pi = 3\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 2\mathbf{k} - 6\mathbf{k} - 1\mathbf{i} - 2\mathbf{j} = 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} - 4\mathbf{k}$$ $$\vec{n}_\pi = (2, 0, -4)$$ Podemos simplificar el vector normal usando $\vec{n} = (1, 0, -2)$. La ecuación del plano será de la forma $x - 2z + D = 0$. Imponemos que pase por $P_r(1, 2, 0)$: $$1 - 2(0) + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{\pi \equiv x - 2z - 1 = 0}$$

**b) (1 punto). Determinar la distancia entre las rectas $r$ y $s$.** Primero comprobamos la posición relativa de las rectas. Ya sabemos que no son paralelas porque sus vectores $\vec{v}_r(2, 3, 1)$ y $\vec{v}_s(2, 1, 1)$ no son proporcionales. Calculamos el vector que une un punto de cada recta: $$\vec{P_r P_s} = (-2 - 1, 0 - 2, 2 - 0) = (-3, -2, 2)$$ Calculamos el producto mixto $[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]$ para ver si se cortan o se cruzan: $$[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}] = \begin{vmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ -3 & -2 & 2 \end{vmatrix} = 2(2+2) - 3(4+3) + 1(-4+9) = 8 - 21 + 5 = -8$$ Como el producto mixto es distinto de cero, las rectas **se cruzan** en el espacio. 💡 **Tip:** Si el producto mixto es cero, las rectas son coplanarias (se cortan o son paralelas). Si es distinto de cero, se cruzan.

La distancia entre dos rectas que se cruzan se calcula como la altura del paralelepípedo formado por los tres vectores: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Del apartado anterior tenemos: - Valor absoluto del producto mixto: $|-8| = 8$. - Vector producto vectorial: $\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (2, 0, -4)$. Calculamos el módulo del producto vectorial: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{2^2 + 0^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$$ Sustituimos en la fórmula: $$d(r, s) = \frac{8}{2\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5}}{5}$$ ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(r, s) = \frac{4\sqrt{5}}{5} \text{ unidades}}$$

**c) (1 punto). Estudiar si la recta $t$ paralela a $r$ y que pasa por $O(0, 0, 0)$ corta a la recta $s$.** Determinamos la ecuación de la recta $t$: - Vector director: $\vec{v}_t = \vec{v}_r = (2, 3, 1)$. - Punto: $O(0, 0, 0)$. Sus ecuaciones paramétricas son: $$t \equiv \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = 3\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Escribimos la recta $s$ también en paramétricas (usando el parámetro $\mu$): $$s \equiv \begin{cases} x = -2 + 2\mu \\ y = \mu \\ z = 2 + \mu \end{cases}$$ Para ver si se cortan, igualamos componente a componente: 1) $2\lambda = -2 + 2\mu \implies \lambda = -1 + \mu$ 2) $3\lambda = \mu$ 3) $\lambda = 2 + \mu$ Sustituimos la ec. 2 en la ec. 1: $$\lambda = -1 + 3\lambda \implies -2\lambda = -1 \implies \lambda = \frac{1}{2}$$ Entonces, de la ec. 2: $\mu = 3\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$. Comprobamos si estos valores cumplen la ec. 3: $$\frac{1}{2} \stackrel{?}{=} 2 + \frac{3}{2} \implies 0.5 \neq 3.5$$ Como el sistema es incompatible, las rectas no se cortan. Al no ser paralelas (sus vectores no son proporcionales), las rectas **se cruzan**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } t \text{ no corta a la recta } s. \text{ Las rectas se cruzan.}}$$