Cálculo de una integral definida mediante integración por partes

**Ejercicio 4 . Calificación máxima: 2 puntos. Calcular la integral: $F(x) = \int_{0}^{x} t^2 e^{-t} dt$.** Para calcular esta integral definida, primero debemos hallar la integral indefinida (la primitiva) de la función $f(t) = t^2 e^{-t}$ y, posteriormente, aplicar la Regla de Barrow. La función es el producto de un polinomio ($t^2$) y una exponencial ($e^{-t}$), lo que sugiere el uso del método de **integración por partes**. 💡 **Tip:** Recuerda la fórmula de integración por partes: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$. Una regla nemotécnica común para elegir $u$ es ALPES (Arcos, Logaritmos, Polinomios, Exponenciales, Senos/Cosenos).

Elegimos las partes según la regla ALPES: - $u = t^2 \implies du = 2t \, dt$ - $dv = e^{-t} \, dt \implies v = \int e^{-t} \, dt = -e^{-t}$ Aplicamos la fórmula: $$\int t^2 e^{-t} \, dt = t^2(-e^{-t}) - \int (-e^{-t}) \cdot 2t \, dt$$ $$\int t^2 e^{-t} \, dt = -t^2 e^{-t} + 2 \int t e^{-t} \, dt$$ Ahora debemos resolver la integral restante, $\int t e^{-t} \, dt$, aplicando de nuevo el método por partes.

Para la integral $\int t e^{-t} \, dt$: - $u = t \implies du = dt$ - $dv = e^{-t} \, dt \implies v = -e^{-t}$ Aplicamos la fórmula de nuevo: $$\int t e^{-t} \, dt = t(-e^{-t}) - \int (-e^{-t}) \, dt$$ $$\int t e^{-t} \, dt = -t e^{-t} + \int e^{-t} \, dt$$ $$\int t e^{-t} \, dt = -t e^{-t} - e^{-t}$$ Sustituimos este resultado en la expresión del paso anterior: $$\int t^2 e^{-t} \, dt = -t^2 e^{-t} + 2(-t e^{-t} - e^{-t})$$ $$\int t^2 e^{-t} \, dt = -t^2 e^{-t} - 2t e^{-t} - 2e^{-t}$$ Factorizando $-e^{-t}$, obtenemos la primitiva general $G(t)$: $$G(t) = -e^{-t}(t^2 + 2t + 2)$$

Ahora aplicamos la Regla de Barrow para los límites de integración entre $0$ y $x$: $$F(x) = \int_{0}^{x} t^2 e^{-t} dt = \left[ -e^{-t}(t^2 + 2t + 2) \right]_{0}^{x}$$ Evaluamos en el límite superior ($x$) y restamos la evaluación en el límite inferior ($0$): $$F(x) = \left( -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) \right) - \left( -e^{-0}(0^2 + 2(0) + 2) \right)$$ Simplificamos los términos: - Para $t=x$: $-e^{-x}(x^2 + 2x + 2)$ - Para $t=0$: $-e^{0}(2) = -1 \cdot 2 = -2$ Entonces: $$F(x) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) - (-2)$$ $$F(x) = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + 2$$ 💡 **Tip:** La Regla de Barrow establece que $\int_{a}^{b} f(t) dt = G(b) - G(a)$, donde $G(t)$ es cualquier primitiva de $f(t)$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{F(x) = 2 - e^{-x}(x^2 + 2x + 2)}$$