Límite con parámetro y el número e

Para calcular el límite, primero analizamos el comportamiento de la base y del exponente cuando $x \to +\infty$. La base es $B(x) = 1 + \dfrac{1}{\alpha x^2 + 4x + 8}$. - Si $\alpha \neq 0$, el denominador es un polinomio de segundo grado, por lo que $\lim_{x \to +\infty} (\alpha x^2 + 4x + 8) = \pm\infty$. Entonces, $\frac{1}{\infty} \to 0$ y la base tiende a $1$. - Si $\alpha = 0$, el denominador es $4x + 8$, que también tiende a $+\infty$. La base sigue tendiendo a $1$. El exponente es $E(x) = x + 1$, que tiende a $+\infty$ cuando $x \to +\infty$. En ambos casos, nos encontramos ante una indeterminación del tipo: $$\mathbf{1^\infty}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que las indeterminaciones de tipo $1^\infty$ suelen resolverse utilizando la fórmula relacionada con el número $e$.

Para resolver un límite del tipo $\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = 1^\infty$, aplicamos la fórmula: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} [f(x) - 1] \cdot g(x)}$$ En nuestro caso: $$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{\alpha x^2 + 4x + 8} \right)^{(x+1)} = e^L$$ Donde $L$ es: $$L = \lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{\alpha x^2 + 4x + 8} - 1 \right) \cdot (x + 1)$$ Simplificamos la expresión: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\alpha x^2 + 4x + 8} \cdot (x + 1) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{\alpha x^2 + 4x + 8}$$ Ahora debemos estudiar este límite $L$ según los valores de $\alpha$.

Analizamos el límite $L = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + 1}{\alpha x^2 + 4x + 8}$ comparando los grados de los polinomios: **Caso 1: Si $\alpha \neq 0$** El grado del numerador es $1$ y el grado del denominador es $2$. Como el grado del denominador es mayor: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{\alpha x^2 + 4x + 8} = 0$$ Por tanto, el límite original es: $$e^L = e^0 = 1$$ **Caso 2: Si $\alpha = 0$** Sustituimos $\alpha = 0$ en la expresión del límite: $$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{4x + 8}$$ Al ser un cociente de polinomios del mismo grado ($1$), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$L = \frac{1}{4}$$ Por tanto, el límite original es: $$e^L = e^{1/4} = \sqrt[4]{e}$$ 💡 **Tip:** En límites de funciones racionales al infinito, si $grado(P) \lt grado(Q) \implies \lim \frac{P}{Q}=0$. Si $grado(P) = grado(Q) \implies \lim \frac{P}{Q}$ es el cociente de los coeficientes de mayor grado.

Resumimos los resultados obtenidos según el valor de $\alpha$: - Si **$\alpha \neq 0$**, el límite es **$1$**. - Si **$\alpha = 0$**, el límite es **$e^{1/4}$** (o $\sqrt[4]{e}$). Podemos escribir la solución final como: $$\boxed{\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{\alpha x^2 + 4x + 8} \right)^{(x+1)} = \begin{cases} 1 & \text{si } \alpha \neq 0 \\ e^{1/4} & \text{si } \alpha = 0 \end{cases}}$$