Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**a) (2 puntos). Discutir el sistema según los valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$ del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 4 & 4\lambda & 2 \\ \lambda & 1 & -\lambda \\ 4\lambda & 4\lambda & \lambda \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 4 & 4\lambda & 2 & 2\lambda \\ \lambda & 1 & -\lambda & \lambda \\ 4\lambda & 4\lambda & \lambda & 9 \end{pmatrix}$$ Para discutir el sistema, calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & 4\lambda & 2 \\ \lambda & 1 & -\lambda \\ 4\lambda & 4\lambda & \lambda \end{vmatrix} = [4 \cdot 1 \cdot \lambda + (4\lambda)(-\lambda)(4\lambda) + (2)(\lambda)(4\lambda)] - [2 \cdot 1 \cdot 4\lambda + (4\lambda)(\lambda)(\lambda) + 4(-\lambda)(4\lambda)]$$ $$|A| = [4\lambda - 16\lambda^3 + 8\lambda^2] - [8\lambda + 4\lambda^3 - 16\lambda^2]$$ $$|A| = -16\lambda^3 + 8\lambda^2 + 4\lambda - 4\lambda^3 + 16\lambda^2 - 8\lambda = -20\lambda^3 + 24\lambda^2 - 4\lambda$$ 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $3 \times 3$ se calcula sumando los productos de las diagonales principales y restando los de las secundarias.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $\lambda$ que cambian el rango de la matriz: $$-20\lambda^3 + 24\lambda^2 - 4\lambda = 0$$ Factorizamos extrayendo $-4\lambda$ como factor común: $$-4\lambda(5\lambda^2 - 6\lambda + 1) = 0$$ Las raíces son: 1. $\lambda_1 = 0$ 2. Resolvemos $5\lambda^2 - 6\lambda + 1 = 0$: $$\lambda = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{10} = \frac{6 \pm 4}{10}$$ Obtenemos $\lambda_2 = 1$ y $\lambda_3 = \frac{1}{5}$. Los valores críticos son **$\lambda = 0$**, **$\lambda = 1$** y **$\lambda = 1/5$**.

Para cualquier valor de $\lambda$ distinto de $0, 1$ y $1/5$, el determinante de la matriz de coeficientes es no nulo ($|A| \neq 0$). Por tanto: - $rg(A) = 3$ - $rg(A^*) = 3$ (ya que el rango máximo es 3) - $n = 3$ (número de incógnitas) Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, si $rg(A) = rg(A^*) = n$, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1/5, 1\}, \text{ el sistema es SCD.}}$$

Sustituimos $\lambda = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}$$ En la matriz de coeficientes $A$, el rango es $rg(A) = 2$ (existe un menor $\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 4 \neq 0$). Sin embargo, en la matriz ampliada $A^*$, observamos la última fila: $0x + 0y + 0z = 9$. Esta ecuación es imposible. Formalmente, el rango de $A^*$ es 3 porque existe el menor $\begin{vmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{vmatrix} = 36 \neq 0$. Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 0, \text{ el sistema es SI.}}$$

Sustituimos $\lambda = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 4 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 & 1 \\ 4 & 4 & 1 & 9 \end{pmatrix}$$ Observamos que la columna 1 y la columna 2 son idénticas, por lo que el rango de $A$ es máximo 2. Tomamos un menor de $A$ no nulo: $\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} = 1 + 4 = 5 \neq 0$, luego $rg(A) = 2$. Ahora calculamos el determinante de un menor $3 \times 3$ de $A^*$ usando las columnas 1, 3 y 4: $$\begin{vmatrix} 4 & 2 & 2 \\ 1 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 4(-9-1) - 2(9-4) + 2(1+4) = -40 - 10 + 10 = -40 \neq 0$$ Por tanto, $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } \lambda = 1, \text{ el sistema es SI.}}$$

Sustituimos $\lambda = 1/5$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 4 & 4/5 & 2 & 2/5 \\ 1/5 & 1 & -1/5 & 1/5 \\ 4/5 & 4/5 & 1/5 & 9 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $|A| = 0$, y existe un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo $\begin{vmatrix} 1 & -1/5 \\ 4/5 & 1/5 \end{vmatrix} = 1/5 + 4/25 \neq 0$, luego $rg(A) = 2$. Comprobamos el rango de $A^*$ mediante el menor formado por las columnas 1, 2 y 4: $$\begin{vmatrix} 4 & 4/5 & 2/5 \\ 1/5 & 1 & 1/5 \\ 4/5 & 4/5 & 9 \end{vmatrix} = 4(9 - 4/25) - 4/5(9/5 - 4/25) + 2/5(4/25 - 4/5) = \frac{4224}{125} \neq 0$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. 💡 **Tip:** En sistemas con parámetros, es muy frecuente que en los valores que anulan el determinante el sistema sea Incompatible o Compatible Indeterminado.

**b) (1 punto). Resolver el sistema para $\lambda = -1$.** Sustituimos $\lambda = -1$ en el sistema: $$\begin{cases} 4x - 4y + 2z = -2 \\ -x + y + z = -1 \\ -4x - 4y - z = 9 \end{cases}$$ Como $\lambda = -1$ no es uno de los valores críticos hallados en el apartado anterior, sabemos que el sistema es **Compatible Determinado**. Usaremos la regla de Cramer. Calculamos primero el determinante de $A$ para $\lambda = -1$: $$|A| = -20(-1)^3 + 24(-1)^2 - 4(-1) = 20 + 24 + 4 = 48$$ Ahora calculamos los determinantes de las incógnitas: $$|A_x| = \begin{vmatrix} -2 & -4 & 2 \\ -1 & 1 & 1 \\ 9 & -4 & -1 \end{vmatrix} = -48 \implies x = \frac{-48}{48} = -1$$ $$|A_y| = \begin{vmatrix} 4 & -2 & 2 \\ -1 & -1 & 1 \\ -4 & 9 & -1 \end{vmatrix} = -48 \implies y = \frac{-48}{48} = -1$$ $$|A_z| = \begin{vmatrix} 4 & -4 & -2 \\ -1 & 1 & -1 \\ -4 & -4 & 9 \end{vmatrix} = -48 \implies z = \frac{-48}{48} = -1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{x = -1, y = -1, z = -1}$$