Simetría, ángulos y volumen de un tetraedro en el espacio

**a) (1 punto). Calcular el punto simétrico $P$ del punto $O(0, 0, 0)$ respecto del plano $\pi$.** Para calcular el simétrico de un punto respecto a un plano, primero debemos hallar la recta $r$ que pasa por el punto $O(0,0,0)$ y es perpendicular al plano $\pi$. El vector normal al plano $\pi \equiv x + 3y + z = 4$ es: $$\vec{n}_\pi = (1, 3, 1)$$ Este vector servirá como vector director de la recta $r$, ya que la recta debe ser perpendicular al plano. Usamos el punto $O(0,0,0)$ para escribir las ecuaciones paramétricas de $r$: $$r \equiv \begin{cases} x = t \\ y = 3t \\ z = t \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal de un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $\vec{n}=(A,B,C)$ y es perpendicular a cualquier recta contenida en el plano.

Ahora calculamos el punto $M$, que es la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$. Este punto $M$ se conoce como la proyección ortogonal de $O$ sobre el plano. Sustituimos las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano: $$(t) + 3(3t) + (t) = 4$$ $$t + 9t + t = 4 \implies 11t = 4 \implies t = \frac{4}{11}$$ Sustituimos el valor de $t$ en las ecuaciones de la recta para obtener las coordenadas de $M$: $$x = \frac{4}{11}, \quad y = 3\left(\frac{4}{11}\right) = \frac{12}{11}, \quad z = \frac{4}{11}$$ $$M\left(\frac{4}{11}, \frac{12}{11}, \frac{4}{11}\right)$$ $$\boxed{M = \left(\frac{4}{11}, \frac{12}{11}, \frac{4}{11}\right)}$$

El punto $M$ es el punto medio del segmento que une el origen $O(0,0,0)$ con su simétrico $P(x_P, y_P, z_P)$. Usamos la fórmula del punto medio: $$M = \frac{O + P}{2} \implies P = 2M - O$$ Calculamos las coordenadas de $P$: $$x_P = 2\left(\frac{4}{11}\right) - 0 = \frac{8}{11}$$ $$y_P = 2\left(\frac{12}{11}\right) - 0 = \frac{24}{11}$$ $$z_P = 2\left(\frac{4}{11}\right) - 0 = \frac{8}{11}$$ ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{P\left(\frac{8}{11}, \frac{24}{11}, \frac{8}{11}\right)}$$

**b) (1 punto). Calcular el coseno del ángulo $\alpha$ que forman el plano $\pi$ y el plano $x = 0$.** El ángulo que forman dos planos es el mismo que el ángulo que forman sus vectores normales. - Plano $\pi \equiv x + 3y + z = 4 \implies \vec{n}_\pi = (1, 3, 1)$ - Plano $\pi_2 \equiv x = 0 \implies \vec{n}_2 = (1, 0, 0)$ 💡 **Tip:** El plano $x=0$ es el plano coordenado $YZ$, su normal es el vector unitario del eje $X$.

La fórmula para el coseno del ángulo entre dos planos es: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n}_\pi \cdot \vec{n}_2|}{\|\vec{n}_\pi\| \cdot \|\vec{n}_2\|}$$ Calculamos el producto escalar: $$|\vec{n}_\pi \cdot \vec{n}_2| = |(1 \cdot 1) + (3 \cdot 0) + (1 \cdot 0)| = 1$$ Calculamos los módulos: $$\|\vec{n}_\pi\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{1+9+1} = \sqrt{11}$$ $$\|\vec{n}_2\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{11} \cdot 1} = \frac{1}{\sqrt{11}}$$ Racionalizando el resultado: $$\cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{11}$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{\cos \alpha = \frac{\sqrt{11}}{11}}$$

**c) (1 punto). Calcular el volumen del tetraedro $T$ determinado por el plano $\pi$, y los planos $x = 0, y = 0, z = 0$.** Los planos $x=0, y=0, z=0$ son los planos coordenados, que se cortan en el origen $O(0,0,0)$. Los otros tres vértices del tetraedro son los puntos donde el plano $\pi \equiv x + 3y + z = 4$ corta a los ejes coordenados: 1. Intersección con eje $X$ ($y=0, z=0$): $$x + 3(0) + (0) = 4 \implies x = 4 \implies A(4, 0, 0)$$ 2. Intersección con eje $Y$ ($x=0, z=0$): $$0 + 3y + 0 = 4 \implies y = \frac{4}{3} \implies B\left(0, \frac{4}{3}, 0\right)$$ 3. Intersección con eje $Z$ ($x=0, y=0$): $$0 + 3(0) + z = 4 \implies z = 4 \implies C(0, 0, 4)$$ 💡 **Tip:** Un tetraedro formado por el origen y los puntos de corte con los ejes tiene un volumen sencillo de calcular como un sexto del producto de sus intersecciones (siempre que el origen sea un vértice).

El volumen de un tetraedro definido por los vectores $\vec{OA}, \vec{OB}$ y $\vec{OC}$ es la sexta parte del valor absoluto de su producto mixto: $$V = \frac{1}{6} |[\vec{OA}, \vec{OB}, \vec{OC}]|$$ Los vectores son: $$\vec{OA} = (4, 0, 0), \quad \vec{OB} = \left(0, \frac{4}{3}, 0\right), \quad \vec{OC} = (0, 0, 4)$$ Calculamos el determinante: $$\left| \det \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 4/3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} \right| = 4 \cdot \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{64}{3}$$ Entonces el volumen es: $$V = \frac{1}{6} \cdot \frac{64}{3} = \frac{64}{18} = \frac{32}{9}$$ ✅ **Resultado (apartado c):** $$\boxed{V = \frac{32}{9} \text{ u}^3}$$