Ecuación matricial con matrices de orden 2

Para resolver la ecuación $AXB = A + B$, debemos despejar la matriz $X$. Para ello, multiplicamos por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$) y por la derecha por la inversa de $B$ ($B^{-1}$), siempre que estas existan. $$A^{-1} \cdot (AXB) \cdot B^{-1} = A^{-1} \cdot (A + B) \cdot B^{-1}$$ Como el producto de una matriz por su inversa es la identidad ($A^{-1}A = I$ y $BB^{-1} = I$): $$X = A^{-1} \cdot (A + B) \cdot B^{-1}$$ Podemos simplificar esta expresión aplicando la propiedad distributiva: $$X = (A^{-1}A + A^{-1}B) \cdot B^{-1}$$ $$X = (I + A^{-1}B) \cdot B^{-1}$$ $$X = I \cdot B^{-1} + A^{-1}B \cdot B^{-1}$$ $$X = B^{-1} + A^{-1}$$ 💡 **Tip:** Es mucho más sencillo calcular $X = A^{-1} + B^{-1}$ que realizar el producto de tres matrices. Recuerda que la propiedad distributiva es fundamental en el álgebra matricial, pero el orden de los factores importa.

Para que existan $A^{-1}$ y $B^{-1}$, sus determinantes deben ser distintos de cero. Calculamos el determinante de $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = (4 \cdot 1) - (-2 \cdot 1) = 4 + 2 = 6 \neq 0$$ Calculamos el determinante de $B$: $$|B| = \begin{vmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} = (4 \cdot 1) - (-2 \cdot -3) = 4 - 6 = -2 \neq 0$$ Como ambos determinantes son no nulos, existen las inversas $A^{-1}$ y $B^{-1}$.

Utilizamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$. 1. Hallamos la traspuesta de $A$: $$A^t = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Hallamos la matriz adjunta de la traspuesta: $$\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} 1 & -(-2) \\ -(1) & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante ($|A|=6$): $$A^{-1} = \frac{1}{6} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/6 & 1/3 \\ -1/6 & 2/3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$, la adjunta de la traspuesta se obtiene intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la diagonal secundaria.

Seguimos el mismo proceso para $B$ con $|B| = -2$: 1. Hallamos la traspuesta de $B$: $$B^t = \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$ 2. Hallamos la matriz adjunta de la traspuesta: $$\text{Adj}(B^t) = \begin{pmatrix} 1 & -(-2) \\ -(-3) & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante ($|B|=-2$): $$B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/2 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al calcular los adjuntos y al dividir por un determinante negativo.

Finalmente, sumamos ambas matrices inversas para obtener $X$: $$X = A^{-1} + B^{-1} = \begin{pmatrix} 1/6 & 1/3 \\ -1/6 & 2/3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -1/2 & -1 \\ -3/2 & -2 \end{pmatrix}$$ Operamos elemento a elemento: - $x_{11} = \frac{1}{6} - \frac{1}{2} = \frac{1-3}{6} = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$ - $x_{12} = \frac{1}{3} - 1 = \frac{1-3}{3} = -\frac{2}{3}$ - $x_{21} = -\frac{1}{6} - \frac{3}{2} = \frac{-1-9}{6} = -\frac{10}{6} = -\frac{5}{3}$ - $x_{22} = \frac{2}{3} - 2 = \frac{2-6}{3} = -\frac{4}{3}$ Por tanto: $$X = \begin{pmatrix} -1/3 & -2/3 \\ -5/3 & -4/3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -\dfrac{1}{3} & -\dfrac{2}{3} \\ -\dfrac{5}{3} & -\dfrac{4}{3} \end{pmatrix}}$$