Discusión y resolución de un sistema homogéneo

**a) (1 punto). Obtener los valores del parámetro $\lambda$ para los cuales el sistema tiene soluciones distintas de: $x = y = z = 0$.** El sistema dado es un **sistema de ecuaciones lineales homogéneo**, ya que los términos independientes de todas las ecuaciones son nulos. Un sistema homogéneo siempre es compatible, pues admite al menos la solución trivial $(x=0, y=0, z=0)$. Para que el sistema admita soluciones distintas de la trivial (soluciones no nulas), debe ser un **Sistema Compatible Indeterminado (SCI)**. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, para que un sistema homogéneo de 3 ecuaciones con 3 incógnitas sea indeterminado, el rango de la matriz de coeficientes $A$ debe ser menor que el número de incógnitas ($n=3$). Esto ocurre si y solo si el determinante de la matriz $A$ es igual a cero: $$|A| = 0.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema homogéneo tiene soluciones no triviales si y solo si el determinante de su matriz de coeficientes es nulo.

Escribimos la matriz de coeficientes $A$ y calculamos su determinante utilizando la regla de Sarrus: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 2 & 1 \\ \lambda & -1 & 2 \\ 1 & -\lambda & 2 \end{pmatrix}$$ $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 2 & 1 \\ \lambda & -1 & 2 \\ 1 & -\lambda & 2 \end{vmatrix}$$ Calculamos los productos: - Diagonales principales: $(\lambda \cdot (-1) \cdot 2) + (2 \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot \lambda \cdot (-\lambda)) = -2\lambda + 4 - \lambda^2$ - Diagonales secundarias: $(1 \cdot (-1) \cdot 1) + (-\lambda \cdot 2 \cdot \lambda) + (2 \cdot \lambda \cdot 2) = -1 - 2\lambda^2 + 4\lambda$ Restamos ambos resultados: $$|A| = (-2\lambda + 4 - \lambda^2) - (-1 - 2\lambda^2 + 4\lambda)$$ $$|A| = -2\lambda + 4 - \lambda^2 + 1 + 2\lambda^2 - 4\lambda$$ $$|A| = \lambda^2 - 6\lambda + 5$$ 💡 **Tip:** Ten mucho cuidado con los signos al restar la parte de las diagonales secundarias en Sarrus.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $\lambda$ buscados: $$\lambda^2 - 6\lambda + 5 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2}$$ Obtenemos dos valores: $$\lambda_1 = \frac{6 + 4}{2} = 5$$ $$\lambda_2 = \frac{6 - 4}{2} = 1$$ Para estos valores, el $\text{rango}(A) \lt 3$, por lo que el sistema tendrá infinitas soluciones además de la trivial. ✅ **Resultado (valores de $\lambda$):** $$\boxed{\lambda = 5 \quad \text{y} \quad \lambda = 1}$$

**b) (1 punto). Resolver el sistema para $\lambda = 5$.** Sustituimos $\lambda = 5$ en el sistema: $$\begin{cases} 5x + 2y + z = 0 \\ 5x - y + 2z = 0 \\ x - 5y + 2z = 0 \end{cases}$$ Sabemos por el apartado anterior que $|A|=0$, por lo que el sistema es **Compatible Indeterminado**. Vamos a determinar el rango buscando un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 5 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix} = -5 - 10 = -15 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 2 distinto de cero, el $\text{rango}(A) = 2$. Por el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema tiene $3 - 2 = 1$ grado de libertad (necesitaremos un parámetro). 💡 **Tip:** Al ser un sistema compatible indeterminado con rango 2, podemos prescindir de una ecuación (aquella que no forme parte del menor de orden 2 seleccionado) y tratar una de las incógnitas como parámetro.

Utilizamos las dos primeras ecuaciones y pasamos la incógnita $z$ al segundo miembro como parámetro $z = \alpha$: $$\begin{cases} 5x + 2y = -\alpha \\ 5x - y = -2\alpha \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar la $x$: $$(5x - 5x) + (2y - (-y)) = -\alpha - (-2\alpha)$$ $$3y = \alpha \implies y = \frac{\alpha}{3}$$ Ahora sustituimos el valor de $y$ en la segunda ecuación para hallar $x$: $$5x - \frac{\alpha}{3} = -2\alpha$$ $$5x = \frac{\alpha}{3} - 2\alpha = \frac{\alpha - 6\alpha}{3} = -\frac{5\alpha}{3}$$ $$x = -\frac{\alpha}{3}$$ Podemos comprobar que estos valores cumplen la tercera ecuación original: $$(-\alpha/3) - 5(\alpha/3) + 2\alpha = -6\alpha/3 + 2\alpha = -2\alpha + 2\alpha = 0.$$ ✅ **Resultado (solución para $\lambda=5$):** $$\boxed{x = -\frac{\alpha}{3}, \quad y = \frac{\alpha}{3}, \quad z = \alpha \quad \text{con } \alpha \in \mathbb{R}}$$