Recta simétrica respecto a un plano

Para hallar la recta simétrica $s$, primero debemos determinar si la recta $r$ y el plano $\pi$ se cortan. Si se cortan en un punto $P$, ese punto pertenecerá también a la recta simétrica $s$ ya que está contenido en el plano de simetría. Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = -\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estos valores en la ecuación del plano $\pi \equiv x + y - 2z + 1 = 0$: $$(1 + \lambda) + (-\lambda) - 2(\lambda) + 1 = 0$$ $$1 + \lambda - \lambda - 2\lambda + 1 = 0$$ $$2 - 2\lambda = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en las paramétricas de $r$, obtenemos el punto de intersección $P$: $$x = 1 + 1 = 2, \quad y = -1, \quad z = 1 \implies \mathbf{P(2, -1, 1)}$$ Como $P$ está en el plano $\pi$, su simétrico es él mismo. Por tanto, **$P$ es un punto de la recta $s$**. 💡 **Tip:** Si la recta fuera paralela al plano, la estrategia sería distinta (simetría de dos puntos cualesquiera), pero al cortarse, ya tenemos un punto de la recta buscada.

Para definir la recta $s$ necesitamos otro punto. Elegimos un punto $A$ cualquiera de la recta $r$ (distinto de $P$) y hallaremos su simétrico $A'$ respecto al plano. Sea $A(1, 0, 0)$ un punto de $r$ (obtenido con $\lambda = 0$). Construimos una recta $t$ que pase por $A$ y sea perpendicular al plano $\pi$. El vector director de $t$ será el vector normal del plano $\vec{n}_{\pi} = (1, 1, -2)$: $$t \equiv \begin{cases} x = 1 + \mu \\ y = \mu \\ z = -2\mu \end{cases}$$ Calculamos el punto de corte $M$ entre la recta $t$ y el plano $\pi$ (proyección ortogonal de $A$ sobre el plano): $$(1 + \mu) + (\mu) - 2(-2\mu) + 1 = 0$$ $$1 + \mu + \mu + 4\mu + 1 = 0$$ $$6\mu + 2 = 0 \implies \mu = -\frac{2}{6} = -\frac{1}{3}$$ Sustituimos $\mu = -1/3$ en la recta $t$ para hallar $M$: $$M\left(1 - \frac{1}{3}, -\frac{1}{3}, -2\left(-\frac{1}{3}\right)\right) = \mathbf{M\left(\frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right)}$$ 💡 **Tip:** El punto $M$ es el punto medio entre el punto original $A$ y su simétrico $A'$.

Utilizamos la propiedad del punto medio para hallar $A'(x', y', z')$. Sabemos que: $$M = \frac{A + A'}{2} \implies A' = 2M - A$$ Calculamos las coordenadas de $A'$: $$x' = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 1 = \frac{4}{3} - \frac{3}{3} = \frac{1}{3}$$ $$y' = 2\left(-\frac{1}{3}\right) - 0 = -\frac{2}{3}$$ $$z' = 2\left(\frac{2}{3}\right) - 0 = \frac{4}{3}$$ Por tanto, el punto simétrico es **$A'\left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$**.

La recta $s$ pasa por $P(2, -1, 1)$ y por $A'\left(\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right)$. Calculamos su vector director $\vec{v}_s$: $$\vec{v}_s = \vec{PA'} = \left(\frac{1}{3} - 2, -\frac{2}{3} - (-1), \frac{4}{3} - 1\right)$$ $$\vec{v}_s = \left(\frac{1-6}{3}, \frac{-2+3}{3}, \frac{4-3}{3}\right) = \left(-\frac{5}{3}, \frac{1}{3}, \frac{1}{3}\right)$$ Para facilitar la escritura de la ecuación, podemos usar un vector proporcional multiplicando por $-3$: $$\vec{v}_s = (5, -1, -1)$$ La ecuación continua de la recta $s$ es: $$s \equiv \frac{x - 2}{5} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 1}{-1}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s \equiv \frac{x - 2}{5} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 1}{-1}}$$