Pendiente de la recta tangente y Teorema del Valor Medio

**a) (1 punto). Dada la función $f(x) = \frac{x}{1 - x^2}$, hallar el punto o los puntos de la gráfica de $f(x)$ en los que la pendiente de la recta tangente sea 1.** La pendiente de la recta tangente a la gráfica de una función en un punto coincide con el valor de su derivada en dicho punto. Por tanto, buscamos los valores de $x$ tales que $f'(x) = 1$. Calculamos la derivada de $f(x)$ utilizando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(x)' \cdot (1-x^2) - x \cdot (1-x^2)'}{(1-x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 \cdot (1-x^2) - x \cdot (-2x)}{(1-x^2)^2} = \frac{1 - x^2 + 2x^2}{(1-x^2)^2}$$ $$f'(x) = \frac{1 + x^2}{(1-x^2)^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de un cociente es $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$.

Igualamos la expresión de la derivada a 1 para encontrar los puntos de corte: $$\frac{1 + x^2}{(1-x^2)^2} = 1$$ $$1 + x^2 = (1-x^2)^2$$ Desarrollamos el cuadrado del binomio en el segundo miembro: $$1 + x^2 = 1 - 2x^2 + x^4$$ $$x^4 - 3x^2 = 0$$ Factorizamos la ecuación: $$x^2(x^2 - 3) = 0$$ Esto nos da tres posibles valores para $x$: 1. $x^2 = 0 \implies x_1 = 0$ 2. $x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x_2 = \sqrt{3}$ y $x_3 = -\sqrt{3}$

Para hallar los puntos completos, calculamos la ordenada $y = f(x)$ para cada valor de $x$ obtenido: - Para $x_1 = 0$: $f(0) = \frac{0}{1-0^2} = 0$. Punto: **$(0, 0)$**. - Para $x_2 = \sqrt{3}$: $f(\sqrt{3}) = \frac{\sqrt{3}}{1-3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Punto: **$\left(\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$**. - Para $x_3 = -\sqrt{3}$: $f(-\sqrt{3}) = \frac{-\sqrt{3}}{1-3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Punto: **$\left(-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)$**. ✅ **Resultado (puntos):** $$\boxed{(0, 0), \left(\sqrt{3}, -\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \text{ y } \left(-\sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$$

**b) (0,5 puntos). Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f(x)$ en el punto $x = 0$.** La ecuación de la recta tangente en un punto $x=a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En nuestro caso, $a = 0$: 1. Calculamos la imagen: $f(0) = 0$. 2. Calculamos la pendiente: $f'(0) = \frac{1 + 0^2}{(1 - 0^2)^2} = 1$. Sustituyendo en la fórmula: $$y - 0 = 1(x - 0) \implies y = x$$ ✅ **Resultado (recta tangente):** $$\boxed{y = x}$$

**c) (1,5 puntos). Sea $g$ una función derivable con derivada continua en toda la recta real, y tal que $g(0) = 0, g(2) = 2$. Demostrar que existe al menos un punto $c$ en el intervalo $(0, 2)$ tal que $g'(c) = 1$.** Este apartado es una aplicación directa del **Teorema del Valor Medio (de Lagrange)**. El enunciado afirma que $g$ es derivable en toda la recta real, lo que implica que: 1. $g$ es continua en el intervalo cerrado $[0, 2]$. 2. $g$ es derivable en el intervalo abierto $(0, 2)$. Según el Teorema del Valor Medio, existe al menos un punto $c \in (0, 2)$ tal que: $$g'(c) = \frac{g(2) - g(0)}{2 - 0}$$ Sustituimos los valores conocidos: $$g'(c) = \frac{2 - 0}{2 - 0} = \frac{2}{2} = 1$$ Queda demostrado que existe al menos un punto $c \in (0, 2)$ donde la derivada (pendiente de la tangente) es igual a 1. 💡 **Tip:** El Teorema del Valor Medio garantiza que hay un punto donde la pendiente instantánea es igual a la pendiente media del intervalo. ✅ **Resultado (Demostración):** $$\boxed{\text{Demostrado por el Teorema del Valor Medio en } [0, 2]}$$