Planos paralelos a una distancia dada

Para que un plano sea paralelo a otro, sus vectores normales deben ser proporcionales. El plano dado es $\pi \equiv 2x-y+2z+1 = 0$, cuyo vector normal es $\vec{n} = (2, -1, 2)$. Cualquier plano $\pi'$ paralelo a $\pi$ tendrá una ecuación de la forma: $$2x - y + 2z + D = 0$$ donde $D$ es el término independiente que debemos determinar para que la distancia sea exactamente 3 unidades. 💡 **Tip:** Recuerda que dos planos $Ax+By+Cz+D=0$ y $A'x+B'y+C'z+D'=0$ son paralelos si sus coeficientes $(A, B, C)$ son proporcionales a $(A', B', C')$. Lo más sencillo es mantener los mismos coeficientes y cambiar solo $D$.

La distancia entre dos planos paralelos $\pi_1 \equiv Ax+By+Cz+D_1=0$ y $\pi_2 \equiv Ax+By+Cz+D_2=0$ viene dada por la fórmula: $$d(\pi_1, \pi_2) = \frac{|D_2 - D_1|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ En nuestro caso, tenemos: - Coeficientes del plano: $A=2, B=-1, C=2$. - Término independiente del plano original: $D_1 = 1$. - Distancia requerida: $d = 3$. Sustituimos en la fórmula para hallar el valor de $D$ del nuevo plano: $$3 = \frac{|D - 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2}}$$ Calculamos el denominador: $$\sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ Sustituyendo el valor: $$3 = \frac{|D - 1|}{3} \implies |D - 1| = 9$$

La ecuación con valor absoluto $|D - 1| = 9$ genera dos soluciones posibles, una para cada lado del plano original: 1. **Primer caso:** $$D - 1 = 9 \implies D = 10$$ La ecuación del primer plano es: $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z + 10 = 0$. 2. **Segundo caso:** $$D - 1 = -9 \implies D = -8$$ La ecuación del segundo plano es: $\pi_2 \equiv 2x - y + 2z - 8 = 0$. 💡 **Tip:** Es lógico obtener dos soluciones, ya que existen dos planos paralelos a uno dado a una distancia fija (uno 'por encima' y otro 'por debajo'). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\begin{cases} \pi_1 \equiv 2x - y + 2z + 10 = 0 \\ \pi_2 \equiv 2x - y + 2z - 8 = 0 \end{cases}}$$