Intersección perpendicular de dos rectas con parámetros

Para resolver este problema, primero debemos identificar un punto y un vector director para cada una de las rectas dadas en forma continua. Para la recta $r \equiv \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z}{a}$: - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 2, a)$ - Punto de la recta: $P_r = (0, 0, 0)$ Para la recta $s \equiv \frac{x - 3}{b} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{-1}$: - Vector director: $\vec{v}_s = (b, 1, -1)$ - Punto de la recta: $P_s = (3, 0, 3)$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación continua de la recta $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, los valores del denominador son las componentes del vector director y $(x_0, y_0, z_0)$ son las coordenadas de un punto de la recta.

Dos rectas son perpendiculares si sus vectores directores lo son. Esto ocurre cuando su producto escalar es igual a cero. $$\vec{v}_r \cdot \vec{v}_s = 0$$ $$(1, 2, a) \cdot (b, 1, -1) = 0$$ $$1 \cdot b + 2 \cdot 1 + a \cdot (-1) = 0$$ $$b + 2 - a = 0$$ De aquí obtenemos nuestra primera ecuación que relaciona los parámetros: $$\boxed{a - b = 2} \quad \text{ (Ecuación 1)}$$

Para que las rectas se corten (se intersequen en un punto), el sistema formado por sus ecuaciones paramétricas debe tener solución única. Escribimos las rectas en paramétricas utilizando parámetros distintos ($\lambda$ para $r$ y $\mu$ para $s$): $$r: \begin{cases} x = \lambda \\ y = 2\lambda \\ z = a\lambda \end{cases} \quad s: \begin{cases} x = 3 + b\mu \\ y = \mu \\ z = 3 - \mu \end{cases}$$ Igualamos las coordenadas para encontrar el punto de corte: 1) $\lambda = 3 + b\mu$ 2) $2\lambda = \mu$ 3) $a\lambda = 3 - \mu$ Sustituimos la ecuación (2) en las otras dos: - En (1): $\lambda = 3 + b(2\lambda) \implies \lambda - 2b\lambda = 3 \implies \lambda(1 - 2b) = 3$ - En (3): $a\lambda = 3 - 2\lambda \implies a\lambda + 2\lambda = 3 \implies \lambda(a + 2) = 3$ Como ambas expresiones son iguales a $3$, igualamos: $$\lambda(1 - 2b) = \lambda(a + 2)$$ Como buscamos un punto de corte, $\lambda$ no puede ser cero (si $\lambda=0$ en la ec. 3 tendríamos $0=3$, imposible), por lo que podemos simplificar: $$1 - 2b = a + 2$$ $$\boxed{a + 2b = -1} \quad \text{ (Ecuación 2)}$$

Ahora resolvemos el sistema formado por la **Ecuación 1** y la **Ecuación 2**: $$\begin{cases} a - b = 2 \\ a + 2b = -1 \end{cases}$$ Restamos la segunda menos la primera para eliminar $a$: $$(a + 2b) - (a - b) = -1 - 2$$ $$3b = -3$$ $$\boxed{b = -1}$$ Sustituimos el valor de $b$ en la primera ecuación: $$a - (-1) = 2$$ $$a + 1 = 2$$ $$\boxed{a = 1}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1, \quad b = -1}$$