Continuidad y derivabilidad con parámetros y logaritmos

**a) (1,5 puntos). Hallar los valores de los parámetros $a, b$ para los cuales la función $f$ es continua en $x = 0$.** Para que $f(x)$ sea continua en $x = 0$, debe cumplirse que el límite de la función cuando $x$ tiende a $0$ coincida con el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = -\frac{1}{2}$$ Calculamos el límite de la primera rama: $$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + ax) - bx}{x^2}$$ Al sustituir $x = 0$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ ya que $\ln(1) - 0 = 0$. 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea continua en $x=a$, debe existir $f(a)$, existir el límite $\lim_{x \to a} f(x)$ y ambos deben ser iguales.

Aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador por separado: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\ln(1 + ax) - bx)}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{1 + ax} - b}{2x}$$ Si evaluamos en $x = 0$, el denominador es $0$. Para que el límite pueda ser un número finito (como $-\frac{1}{2}$), el numerador también debe ser $0$ en $x = 0$ para evitar que el límite sea infinito. $$\frac{a}{1 + a(0)} - b = 0 \implies a - b = 0 \implies a = b$$ Si $a \neq b$, el límite sería $\infty$ y la función no podría ser continua. ✅ **Primera condición:** $$\boxed{a = b}$$

Bajo la condición $a = b$, volvemos a tener una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos la regla de L'Hôpital por segunda vez: $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{a}{1 + ax} - a}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\frac{a}{1 + ax} - a)}{\frac{d}{dx}(2x)} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{-a^2}{(1 + ax)^2}}{2}$$ Ahora evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$: $$\frac{-a^2}{(1 + a(0))^2 \cdot 2} = -\frac{a^2}{2}$$ Igualamos este resultado al valor de la función $f(0) = -\frac{1}{2}$: $$-\frac{a^2}{2} = -\frac{1}{2} \implies a^2 = 1 \implies a = \pm 1$$ Como $a = b$, obtenemos dos posibles soluciones para que $f$ sea continua: ✅ **Resultado del apartado a):** $$\boxed{a = 1, b = 1 \quad \text{o} \quad a = -1, b = -1}$$

**b) (1,5 puntos). Para $a = b = 1$, estudiar si la función $f$ es derivable en $x = 0$ aplicando la definición de derivada.** Sustituimos $a = 1$ y $b = 1$ en la función: $$f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1 + x) - x}{x^2} & \text{si } x \neq 0 \\ -\frac{1}{2} & \text{si } x = 0 \end{cases}$$ La definición de derivada en $x = 0$ es: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h}$$ Sustituimos los valores: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln(1 + h) - h}{h^2} - \left(-\frac{1}{2}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\ln(1 + h) - h}{h^2} + \frac{1}{2}}{h}$$ Operamos para simplificar la expresión: $$f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{2\ln(1 + h) - 2h + h^2}{2h^3}$$ 💡 **Tip:** Aplicar la definición implica calcular este límite. Si el límite existe y es finito, la función es derivable.

El límite presenta una indeterminación $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital sucesivamente: **1ª Aplicación:** $$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{2}{1 + h} - 2 + 2h}{6h^2} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ **2ª Aplicación:** $$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{-2}{(1 + h)^2} + 2}{12h} = \left[ \frac{0}{0} \right]$$ **3ª Aplicación:** $$\lim_{h \to 0} \frac{\frac{4}{(1 + h)^3}}{12} = \frac{\frac{4}{(1 + 0)^3}}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$$ Como el límite existe y es finito, la función es derivable en $x = 0$. ✅ **Resultado del apartado b):** $$\boxed{f'(0) = \frac{1}{3} \implies \text{La función es derivable en } x=0}$$