Invertibilidad de una matriz y cálculo de la matriz inversa

**a) (1,25 puntos). Determinar los valores del parámetro $m$ para los cuales la matriz $M$ es invertible.** Una matriz cuadrada $M$ es invertible si y solo si su determinante es distinto de cero ($\det(M) \neq 0$). Calculamos el determinante de $M$ utilizando la regla de Sarrus: $$\det(M) = \begin{vmatrix} m & 1 & 2m \\ m & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\det(M) = [m \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 \cdot 0 + 2m \cdot m \cdot 1] - [0 \cdot 1 \cdot 2m + 1 \cdot 2 \cdot m + 1 \cdot m \cdot 1]$$ $$\det(M) = [m + 0 + 2m^2] - [0 + 2m + m]$$ $$\det(M) = 2m^2 + m - 3m = 2m^2 - 2m$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que exista la matriz inversa, el determinante debe ser no nulo. El método de Sarrus es ideal para matrices $3 \times 3$. $$\boxed{\det(M) = 2m^2 - 2m}$$

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que hacen que la matriz **no** sea invertible: $$2m^2 - 2m = 0$$ Factorizamos la expresión: $$2m(m - 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: 1. $2m = 0 \implies m = 0$ 2. $m - 1 = 0 \implies m = 1$ Por tanto, la matriz $M$ es invertible para todos los valores de $m$ excepto $0$ y $1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M \text{ es invertible } \forall m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

**b) (0,5 puntos). Determinar los valores del parámetro $m$ para los cuales la matriz $M^{25}$ es invertible.** Utilizamos la propiedad de los determinantes que establece que el determinante de una potencia es la potencia del determinante: $\det(A^n) = (\det(A))^n$. En este caso: $$\det(M^{25}) = (\det(M))^{25}$$ Para que $M^{25}$ sea invertible, su determinante debe ser distinto de cero: $$(\det(M))^{25} \neq 0 \iff \det(M) \neq 0$$ Como ya hemos analizado en el apartado anterior, la condición $\det(M) \neq 0$ se cumple cuando $m \neq 0$ y $m \neq 1$. 💡 **Tip:** Si una matriz $A$ es invertible, cualquier potencia entera positiva $A^n$ también lo es, ya que su determinante solo será cero si el de la matriz original lo era. ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^{25} \text{ es invertible } \forall m \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}}$$

**c) (1,25 puntos). Para $m = -1$ calcular, si es posible, la matriz inversa $M^{-1}$ de $M$.** Primero, comprobamos si es posible. Como $m = -1 \neq 0, 1$, la matriz es invertible. Calculamos su determinante sustituyendo en la expresión hallada en el apartado (a): $$\det(M) = 2(-1)^2 - 2(-1) = 2(1) + 2 = 4$$ La matriz para $m = -1$ es: $$M = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -2 \\ -1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calcularemos $M^{-1}$ usando la fórmula de la matriz adjunta: $$M^{-1} = \frac{1}{\det(M)} \cdot [\text{Adj}(M)]^T$$ Calculamos los cofactores $A_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 + 2) = -3$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 - 0 = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -(-1 - 0) = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 + 2 = 4$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = -(-2 - 2) = 4$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = -1 + 1 = 0$ 💡 **Tip:** La matriz adjunta está formada por los cofactores. No olvides alternar los signos $(-1)^{i+j}$.

Escribimos la matriz de cofactores $\text{Adj}(M)$: $$\text{Adj}(M) = \begin{pmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -3 & -1 & 1 \\ 4 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$ Transponemos la matriz adjunta: $$[\text{Adj}(M)]^T = \begin{pmatrix} -1 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante ($\det(M) = 4$): $$M^{-1} = \frac{1}{4} \begin{pmatrix} -1 & -3 & 4 \\ 1 & -1 & 4 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1/4 & -3/4 & 1 \\ 1/4 & -1/4 & 1 \\ -1/4 & 1/4 & 0 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{M^{-1} = \begin{pmatrix} -1/4 & -3/4 & 1 \\ 1/4 & -1/4 & 1 \\ -1/4 & 1/4 & 0 \end{pmatrix}}$$