Estudio completo de una función racional

**a) Determine el dominio de definición, los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los máximos, mínimos y puntos de inflexión. (1.25 puntos).** El dominio de una función racional es todo $\mathbb{R}$ excepto los valores que anulan el denominador. Para $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3}$, igualamos el denominador a cero: $$x - 3 = 0 \implies x = 3$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los números reales excepto el 3. 💡 **Tip:** El dominio es el primer paso fundamental en el análisis de funciones, ya que condiciona la existencia de asíntotas verticales y la validez de los puntos críticos. $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{3\}}$$

Para estudiar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{(2x - 5)(x - 3) - (x^2 - 5x + 7)(1)}{(x - 3)^2}$$ $$f'(x) = \frac{2x^2 - 6x - 5x + 15 - x^2 + 5x - 7}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$x^2 - 6x + 8 = 0$$ $$x = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(1)(8)}}{2(1)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \frac{6 \pm 2}{2}$$ $$x_1 = 4, \quad x_2 = 2$$ Ambos valores pertenecen al dominio. $$\boxed{f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos ($x=2, x=4$) y el punto de discontinuidad ($x=3$). $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, 4) & 4 & (4, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - & \nexists & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \text{creciente} & \text{máx} & \text{decreciente} & \nexists & \text{decreciente} & \text{mín} & \text{creciente} \end{array}$$ Interpretación: - **Creciente** en $(-\infty, 2) \cup (4, +\infty)$. - **Decreciente** en $(2, 3) \cup (3, 4)$. 💡 **Tip:** Recuerda que el punto $x=3$ debe incluirse en la tabla aunque no sea un punto crítico, ya que la función puede cambiar de comportamiento a ambos lados de una asíntota.

A partir de la tabla anterior y evaluando en la función original $f(x) = \frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3}$: - En $x=2$: Hay un máximo relativo pues la función pasa de crecer a decrecer. $$y = f(2) = \frac{2^2 - 5(2) + 7}{2 - 3} = \frac{4 - 10 + 7}{-1} = \frac{1}{-1} = -1$$ - En $x=4$: Hay un mínimo relativo pues la función pasa de decrecer a crecer. $$y = f(4) = \frac{4^2 - 5(4) + 7}{4 - 3} = \frac{16 - 20 + 7}{1} = \frac{3}{1} = 3$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo: } (2, -1), \quad \text{Mínimo: } (4, 3)}$$

Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ derivando $f'(x) = \frac{x^2 - 6x + 8}{(x - 3)^2}$: $$f''(x) = \frac{(2x - 6)(x - 3)^2 - (x^2 - 6x + 8) \cdot 2(x - 3)}{(x - 3)^4}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por $(x - 3)$: $$f''(x) = \frac{(2x - 6)(x - 3) - 2(x^2 - 6x + 8)}{(x - 3)^3} = \frac{2x^2 - 6x - 6x + 18 - 2x^2 + 12x - 16}{(x - 3)^3} = \frac{2}{(x - 3)^3}$$ Como el numerador es constante ($2 \neq 0$), **no hay puntos de inflexión**. Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f''(x) & - & \nexists & + \\ \hline f(x) & \text{cóncava (\cap)} & \nexists & \text{convexa (\cup)} \end{array}$$ ✅ **Resultado (Inflexión):** $$\boxed{\text{No existen puntos de inflexión}}$$

**b) Halle las asíntotas y represente aproximadamente la gráfica de la función. (1.25 puntos).** **Asíntotas Verticales (AV):** Probamos en $x=3$ (valor fuera del dominio): $$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3} = \frac{1}{0} = \infty$$ - $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ - $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$ Por tanto, **$x = 3$** es una AV. **Asíntotas Horizontales (AH):** $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3} = \pm\infty$$ No existen asíntotas horizontales ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador. $$\boxed{\text{AV: } x = 3, \quad \text{AH: No hay}}$$

Como el grado del numerador es exactamente uno más que el del denominador, existe una asíntota oblicua $y = mx + n$. Podemos obtenerla mediante la división polinómica: $$(x^2 - 5x + 7) : (x - 3) = (x - 2) + \frac{1}{x - 3}$$ Cuando $x \to \infty$, el término $\frac{1}{x-3} \to 0$, por lo que la función se aproxima a la recta **$y = x - 2$**. Alternativamente: $$m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2 - 5x + 7}{x^2 - 3x} = 1$$ $$n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left(\frac{x^2 - 5x + 7}{x - 3} - x\right) = \lim_{x \to \infty} \frac{-2x + 7}{x - 3} = -2$$ ✅ **Resultado (AO):** $$\boxed{\text{Asíntota Oblicua: } y = x - 2}$$

Combinando la información de los puntos críticos, el dominio y las asíntotas, procedemos a la representación gráfica. **Resumen para la gráfica:** - Puntos de interés: Máximo $(2, -1)$, Mínimo $(4, 3)$. - Asíntota vertical en $x=3$. - Asíntota oblicua $y=x-2$. - Corte con eje $Y$: $f(0) = 7/(-3) \approx -2.33$. - Corte con eje $X$: $x^2-5x+7=0$ no tiene soluciones reales (no corta al eje X).