Área entre una parábola y una recta

Para esbozar la parábola $f(x) = -x^2 + x + \frac{7}{4}$, identificamos sus elementos característicos: 1. **Orientación:** Como el coeficiente de $x^2$ es $a = -1 \lt 0$, la parábola está abierta hacia abajo (es cóncava). 2. **Vértice ($V$):** La abscisa del vértice se calcula como $x_v = \frac{-b}{2a}$: $$x_v = \frac{-1}{2(-1)} = \frac{1}{2}$$ Calculamos la ordenada sustituyendo en la función: $$y_v = -\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \frac{1}{2} + \frac{7}{4} = -\frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{7}{4} = \frac{8}{4} = 2$$ El vértice es $V\left(\frac{1}{2}, 2\right)$. 3. **Puntos de corte:** - Con el eje $Y$ ($x=0$): $f(0) = \frac{7}{4}$, punto $(0, 1.75)$. - Con el eje $X$ ($y=0$): $-x^2 + x + \frac{7}{4} = 0 \implies -4x^2 + 4x + 7 = 0$. Resolviendo: $$x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(-4)(7)}}{2(-4)} = \frac{-4 \pm \sqrt{128}}{-8} = \frac{-4 \pm 8\sqrt{2}}{-8} = \frac{1 \mp 2\sqrt{2}}{2}$$ Los puntos aproximados son $(-0.91, 0)$ y $(1.91, 0)$. 💡 **Tip:** El vértice siempre se encuentra en el punto medio entre las dos raíces (si existen).

La recta pasa por los puntos $A(0, \frac{1}{4})$ y $B(\frac{1}{6}, 0)$. Calculamos primero la pendiente $m$: $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{0 - 1/4}{1/6 - 0} = \frac{-1/4}{1/6} = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2}$$ Utilizamos la ecuación punto-pendiente o directamente la forma explícita $y = mx + n$. Dado que corta al eje $Y$ en $(0, 1/4)$, sabemos que $n = \frac{1}{4}$: $$y = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{4}$$ ✅ **Ecuación de la recta:** $$\boxed{g(x) = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{4}}$$

Para delimitar la región del área, igualamos ambas funciones $f(x) = g(x)$: $$-x^2 + x + \frac{7}{4} = -\frac{3}{2}x + \frac{1}{4}$$ Multiplicamos toda la ecuación por $4$ para eliminar denominadores: $$-4x^2 + 4x + 7 = -6x + 1$$ $$-4x^2 + 10x + 6 = 0 \implies -2x^2 + 5x + 3 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 4(-2)(3)}}{2(-2)} = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 24}}{-4} = \frac{-5 \pm 7}{-4}$$ Esto nos da dos soluciones: - $x_1 = \frac{-5 + 7}{-4} = \frac{2}{-4} = -\frac{1}{2}$ - $x_2 = \frac{-5 - 7}{-4} = \frac{-12}{-4} = 3$ Los límites de integración para el área serán $a = -\frac{1}{2}$ y $b = 3$.

El área de la región es la integral de la función superior (parábola) menos la función inferior (recta) entre los puntos de corte: $$A = \int_{-1/2}^{3} \left[ \left(-x^2 + x + \frac{7}{4}\right) - \left(-\frac{3}{2}x + \frac{1}{4}\right) \right] dx$$ Simplificamos el integrando: $$f(x) - g(x) = -x^2 + x + \frac{3}{2}x + \frac{7}{4} - \frac{1}{4} = -x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{3}{2}$$ Calculamos la integral definida aplicando la Regla de Barrow: $$A = \int_{-1/2}^{3} \left(-x^2 + \frac{5}{2}x + \frac{3}{2}\right) dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{4} + \frac{3x}{2} \right]_{-1/2}^{3}$$ Sustituimos el límite superior ($x=3$): $$F(3) = -\frac{27}{3} + \frac{5(9)}{4} + \frac{3(3)}{2} = -9 + \frac{45}{4} + \frac{9}{2} = \frac{-36 + 45 + 18}{4} = \frac{27}{4}$$ Sustituimos el límite inferior ($x=-1/2$): $$F(-1/2) = -\frac{(-1/8)}{3} + \frac{5(1/4)}{4} + \frac{3(-1/2)}{2} = \frac{1}{24} + \frac{5}{16} - \frac{3}{4} = \frac{2 + 15 - 36}{48} = -\frac{19}{48}$$ Finalmente, restamos: $$A = \frac{27}{4} - \left(-\frac{19}{48}\right) = \frac{324}{48} + \frac{19}{48} = \frac{343}{48}$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si obtienes un valor negativo, revisa cuál función está por encima de la otra. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \frac{343}{48} \approx 7.146 \text{ u}^2}$$