Geometría en el espacio: Rectas, planos y distancias

**a) Halle la ecuación del plano que pasa por $P$ y es perpendicular a $r$. (1 punto)** Primero, extraemos el vector director de la recta $r$. La recta viene dada en su forma continua: $$\frac{x - x_0}{v_1} = \frac{y - y_0}{v_2} = \frac{z - z_0}{v_3}$$ De la ecuación $x - 6 = y - 7 = \frac{z - 4}{-2}$, identificamos el vector director $\vec{v_r}$: $$\vec{v_r} = (1, 1, -2)$$ Y un punto por el que pasa la recta es $Q(6, 7, 4)$. 💡 **Tip:** Recuerda que en la forma continua, los denominadores son las componentes del vector director. Si no hay denominador, se sobreentiende que es 1.

Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $r$, el vector director de la recta, $\vec{v_r}$, será el vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$. Por tanto: $$\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (1, 1, -2)$$ La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$, donde $(A, B, C)$ son las componentes del vector normal. Sustituyendo: $$1x + 1y - 2z + D = 0 \implies x + y - 2z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $P(1, 0, 1)$, este debe satisfacer la ecuación: $$1 + 0 - 2(1) + D = 0$$ $$1 - 2 + D = 0 \implies -1 + D = 0 \implies D = 1$$ ✅ **Resultado (Ecuación del plano):** $$\boxed{x + y - 2z + 1 = 0}$$

**b) Halle el punto de $r$ más próximo a $P$ y halle la distancia de $P$ a $r$. (1.5 puntos)** El punto de una recta $r$ más próximo a un punto exterior $P$ es el pie de la perpendicular trazada desde $P$ a la recta. Este punto, que llamaremos $M$, coincide con la intersección de la recta $r$ con el plano $\pi$ perpendicular a ella que pasa por $P$ (calculado en el apartado anterior). Expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas para facilitar la intersección: $$\begin{cases} x = 6 + \lambda \\ y = 7 + \lambda \\ z = 4 - 2\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Para encontrar la intersección entre una recta y un plano, lo más sencillo es sustituir las expresiones de $x, y, z$ de la recta en la ecuación del plano.

Sustituimos las ecuaciones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi$: $x + y - 2z + 1 = 0$. $$(6 + \lambda) + (7 + \lambda) - 2(4 - 2\lambda) + 1 = 0$$ $$6 + \lambda + 7 + \lambda - 8 + 4\lambda + 1 = 0$$ $$(1 + 1 + 4)\lambda + (6 + 7 - 8 + 1) = 0$$ $$6\lambda + 6 = 0 \implies 6\lambda = -6 \implies \lambda = -1$$ Ahora, calculamos las coordenadas del punto $M$ sustituyendo $\lambda = -1$ en las paramétricas de $r$: $$x_M = 6 + (-1) = 5$$ $$y_M = 7 + (-1) = 6$$ $$z_M = 4 - 2(-1) = 6$$ ✅ **Resultado (Punto más próximo):** $$\boxed{M(5, 6, 6)}$$

La distancia de $P$ a la recta $r$ es la longitud del segmento que une $P$ con su punto más próximo en la recta, es decir, el módulo del vector $\vec{PM}$. Primero hallamos el vector $\vec{PM}$: $$\vec{PM} = M - P = (5 - 1, 6 - 0, 6 - 1) = (4, 6, 5)$$ Calculamos su módulo: $$d(P, r) = |\vec{PM}| = \sqrt{4^2 + 6^2 + 5^2}$$ $$d(P, r) = \sqrt{16 + 36 + 25} = \sqrt{77}$$ Como $\sqrt{77}$ no es un número entero, lo dejamos expresado en forma de raíz o su valor aproximado ($\approx 8.77$ u). ✅ **Resultado (Distancia):** $$\boxed{d(P, r) = \sqrt{77} \text{ unidades}}$$