Rango de una matriz con parámetros y ecuación matricial

**a) Según los valores de $a \in \mathbb{R}$, estudie el rango de $P$. (1 punto)** Para estudiar el rango de la matriz $P$, calculamos su determinante en función del parámetro $a$. El rango será máximo (3) para aquellos valores que no anulen el determinante. $$|P| = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 - a & 1 & a \\ 3 & 3 & a \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$|P| = [0 \cdot 1 \cdot a + 1 \cdot a \cdot 3 + 3 \cdot (2-a) \cdot 3] - [3 \cdot 1 \cdot 3 + a \cdot 3 \cdot 0 + a \cdot (2-a) \cdot 1]$$ $$|P| = [0 + 3a + 9(2-a)] - [9 + 0 + 2a - a^2]$$ $$|P| = 3a + 18 - 9a - 9 - 2a + a^2$$ $$|P| = a^2 - 8a + 9$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz $3 \times 3$ es 3 si y solo si su determinante es distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores de $a$ que reducen el rango: $$a^2 - 8a + 9 = 0$$ Usamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$a = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 36}}{2} = \frac{8 \pm \sqrt{28}}{2}$$ Simplificamos el radical $\sqrt{28} = \sqrt{4 \cdot 7} = 2\sqrt{7}$: $$a = \frac{8 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 4 \pm \sqrt{7}$$ Los valores que anulan el determinante son $a_1 = 4 + \sqrt{7}$ y $a_2 = 4 - \sqrt{7}$.

Analizamos los diferentes casos según el valor de $a$: **Caso 1:** Si $a \neq 4 + \sqrt{7}$ y $a \neq 4 - \sqrt{7}$ En este caso, $|P| \neq 0$, por lo tanto el rango de $P$ es **3**. **Caso 2:** Si $a = 4 + \sqrt{7}$ o $a = 4 - \sqrt{7}$ En este caso, $|P| = 0$, por lo que $\text{rang}(P) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Por ejemplo, tomando las dos primeras columnas y filas: $$\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 2-a & 1 \end{vmatrix} = -(2-a) = a-2$$ Para los valores críticos $a = 4 \pm \sqrt{7}$, este menor vale $(4 \pm \sqrt{7}) - 2 = 2 \pm \sqrt{7} \neq 0$. Como existe al menos un menor de orden 2 no nulo, el rango de $P$ es **2**. ✅ **Resultado (Rango de P):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{4 - \sqrt{7}, 4 + \sqrt{7}\}, & \text{rang}(P) = 3 \\ \text{Si } a = 4 \pm \sqrt{7}, & \text{rang}(P) = 2 \end{cases}}$$

**b) Para el caso $a = 1$, halle $X$ tal que $P \cdot X = Q$. (1.5 puntos)** Si $a = 1$, sustituimos en la matriz $P$: $$P = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 2 - 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 3 & 3 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $1 \neq 4 \pm \sqrt{7}$, sabemos que $|P| \neq 0$ y existe la matriz inversa $P^{-1}$. El determinante para $a=1$ es: $$|P| = 1^2 - 8(1) + 9 = 2$$ Para despejar $X$ en la ecuación $P \cdot X = Q$, multiplicamos por la izquierda por $P^{-1}$: $$P^{-1} \cdot P \cdot X = P^{-1} \cdot Q \implies X = P^{-1} \cdot Q$$ 💡 **Tip:** El orden en el producto de matrices es fundamental. Si $P$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar por la izquierda a $Q$.

Calculamos la matriz inversa mediante la fórmula $P^{-1} = \frac{1}{|P|} (\text{Adj}(P))^T$. Calculamos los cofactores $C_{ij}$ de $P$: $C_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -2; \quad C_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 2; \quad C_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 0$ $C_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 8; \quad C_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -9; \quad C_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 3 & 3 \end{vmatrix} = 3$ $C_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2; \quad C_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3; \quad C_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ La matriz adjunta (traspuesta de la de cofactores) es: $$\text{Adj}(P) = (\text{Cof}(P))^T = \begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 8 & -9 & 3 \\ -2 & 3 & -1 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} -2 & 8 & -2 \\ 2 & -9 & 3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$ Por tanto: $$P^{-1} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 8 & -2 \\ 2 & -9 & 3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = P^{-1} \cdot Q$: $$X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2 & 8 & -2 \\ 2 & -9 & 3 \\ 0 & 3 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto de matrices: $X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -2(1)+8(0)-2(1) & -2(0)+8(2)-2(1) & -2(1)+8(-1)-2(2) \\ 2(1)-9(0)+3(1) & 2(0)-9(2)+3(1) & 2(1)-9(-1)+3(2) \\ 0(1)+3(0)-1(1) & 0(0)+3(2)-1(1) & 0(1)+3(-1)-1(2) \end{pmatrix}$ $X = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} -4 & 14 & -14 \\ 5 & -15 & 17 \\ -1 & 5 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 7 & -7 \\ 5/2 & -15/2 & 17/2 \\ -1/2 & 5/2 & -5/2 \end{pmatrix}$ ✅ **Resultado (Matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -2 & 7 & -7 \\ 2.5 & -7.5 & 8.5 \\ -0.5 & 2.5 & -2.5 \end{pmatrix}}$$