Estudio completo de una función racional

**a) Estudie el dominio de definición y calcule las asíntotas. (0.75 puntos)** La función $f(x) = \frac{x-1}{x^2}$ es una función racional. El dominio de una función racional son todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Igualamos el denominador a cero: $$x^2 = 0 \implies x = 0$$ Por tanto, el dominio es el conjunto de todos los reales excepto el cero. 💡 **Tip:** Recuerda que en las funciones racionales los puntos que no pertenecen al dominio son candidatos a ser asíntotas verticales. ✅ **Dominio:** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{0\}}$$

Para comprobar si hay una asíntota vertical en $x=0$, calculamos el límite de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 0} \frac{x-1}{x^2} = \frac{0-1}{0^2} = \frac{-1}{0^+} = -\infty$$ Al ser el límite infinito, existe una asíntota vertical en el eje de ordenadas. ✅ **Asíntota Vertical (AV):** $$\boxed{x = 0}$$

Para las asíntotas horizontales, calculamos el límite cuando $x \to \pm\infty$: $$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x-1}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0$$ Como el límite es un valor finito, existe una asíntota horizontal en $y=0$ (el eje de abscisas). 💡 **Tip:** Si existe asíntota horizontal en el infinito, no puede existir asíntota oblicua en ese mismo sentido. ✅ **Asíntota Horizontal (AH):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) Estudie los intervalos de crecimiento, decrecimiento, concavidad y convexidad. (0.75 puntos)** Calculamos la primera derivada de $f(x) = \frac{x-1}{x^2}$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{1 \cdot x^2 - (x-1) \cdot 2x}{(x^2)^2} = \frac{x^2 - 2x^2 + 2x}{x^4} = \frac{-x^2 + 2x}{x^4} = \frac{x(-x+2)}{x^4} = \frac{-x+2}{x^3}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$-x + 2 = 0 \implies x = 2$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio ($x=0$) y el punto crítico ($x=2$): $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, +\infty)\\ \hline f'(x) & - & \nexists & + & 0 & - \\ \text{Función} & \searrow & \nexists & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ ✅ **Intervalos de monotonía:** - **Crecimiento:** $\boxed{(0, 2)}$ - **Decrecimiento:** $\boxed{(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)}$

Calculamos la segunda derivada a partir de $f'(x) = \frac{-x+2}{x^3}$: $$f''(x) = \frac{-1 \cdot x^3 - (-x+2) \cdot 3x^2}{(x^3)^2} = \frac{-x^3 + 3x^3 - 6x^2}{x^6} = \frac{2x^3 - 6x^2}{x^6} = \frac{2x^2(x-3)}{x^6} = \frac{2x-6}{x^4}$$ Buscamos posibles puntos de inflexión haciendo $f''(x) = 0$: $$2x - 6 = 0 \implies x = 3$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$ teniendo en cuenta el dominio: $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 3) & 3 & (3, +\infty)\\ \hline f''(x) & - & \nexists & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \cap & \nexists & \cap & \text{P.I.} & \cup \end{array}$$ En Bachillerato, usamos habitualmente **cóncava** para $\cap$ ($f'' \lt 0$) y **convexa** para $\cup$ ($f'' \gt 0$). ✅ **Curvatura:** - **Cóncava ($\cap$):** $\boxed{(-\infty, 0) \cup (0, 3)}$ - **Convexa ($\cup$):** $\boxed{(3, +\infty)}$

**c) Halle los máximos, mínimos y puntos de inflexión. (0.5 puntos)** A partir del estudio anterior: **Máximos y Mínimos:** En $x=2$ hay un máximo relativo (cambio de crecer a decrecer). $$f(2) = \frac{2-1}{2^2} = \frac{1}{4}$$ No hay mínimos relativos. **Puntos de Inflexión:** En $x=3$ hay un punto de inflexión (cambio de curvatura). $$f(3) = \frac{3-1}{3^2} = \frac{2}{9}$$ ✅ **Resultados:** - **Máximo relativo:** $\boxed{(2, 0.25)}$ - **Mínimo relativo:** $\boxed{\text{No existe}}$ - **Punto de inflexión:** $\boxed{(3, 2/9)}$

**d) Esboce la gráfica de la función. (0.5 puntos)** Para el esbozo unimos toda la información obtenida: 1. Dominio $\mathbb{R} \setminus \{0\}$. 2. Asíntota vertical en $x=0$ (hacia $-\infty$). 3. Asíntota horizontal $y=0$. 4. Corte con el eje $X$: $f(x)=0 \implies x-1=0 \implies x=1$. 5. Máximo en $(2, 0.25)$ y Punto de Inflexión en $(3, 0.22)$. Llegando a la siguiente representación gráfica: