Continuidad de una función a trozos con parámetros

Analizamos primero la continuidad de las ramas de la función fuera del punto de salto $x=3$. - Para el intervalo $(-\infty, 3)$, la función viene definida por $f(x) = \frac{2x^2 - 3ax - 6}{x - 3}$. Al ser una función racional, es continua en todo su dominio. El único punto que anula el denominador es $x=3$, el cual no pertenece a este intervalo abierto. Por tanto, $f(x)$ es continua para cualquier $a \in \mathbb{R}$ en $(-\infty, 3)$. - Para el intervalo $(3, +\infty)$, la función es $f(x) = x^2 - 1$. Se trata de una función polinómica, por lo que es continua en todo $\mathbb{R}$, y específicamente en el intervalo considerado. Por tanto, el único punto donde la continuidad depende del valor de $a$ es en el salto entre ramas en **$x = 3$**. 💡 **Tip:** Una función definida a trozos es continua si lo es en cada una de sus ramas y además el límite coincide con el valor de la función en los puntos de separación.

Para que la función sea continua en $x=3$, deben cumplirse tres condiciones: 1. Que exista el valor de la función en el punto: $f(3)$. 2. Que existan los límites laterales y sean iguales: $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x)$. 3. Que el valor del límite coincida con el valor de la función: $\lim_{x \to 3} f(x) = f(3)$. Calculamos el valor de la función y el límite por la derecha usando la segunda rama ($x \ge 3$): - **Valor de la función:** $f(3) = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$. - **Límite por la derecha:** $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3^+} (x^2 - 1) = 8$. Para que la función sea continua, el límite por la izquierda también debe ser igual a **8**: $$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 3ax - 6}{x - 3} = 8$$

Estudiamos el límite por la izquierda: $$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 3ax - 6}{x - 3}$$ Al sustituir $x=3$, el denominador es $3 - 3 = 0$. Para que el límite sea un número finito (en este caso 8) y no $\pm\infty$, el numerador también debe ser **0** en $x=3$. Esto nos generará una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$ que podremos resolver. Imponemos que el numerador valga 0 cuando $x=3$: $$2(3)^2 - 3a(3) - 6 = 0$$ $$18 - 9a - 6 = 0$$ $$12 - 9a = 0$$ $$9a = 12 \implies a = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$$ 💡 **Tip:** Si en un límite el denominador tiende a 0 pero el resultado es finito, el numerador obligatoriamente debe tender a 0 para permitir la cancelación de la indeterminación.

Comprobamos si con $a = \frac{4}{3}$ el límite por la izquierda es efectivamente 8. Sustituimos $a$ en la expresión: $$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 3\left(\frac{4}{3}\right)x - 6}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 4x - 6}{x - 3}$$ Como tenemos una indeterminación $\frac{0}{0}$, aplicamos la **Regla de L'Hôpital** derivando numerador y denominador: $$\lim_{x \to 3^-} \frac{2x^2 - 4x - 6}{x - 3} = \lim_{x \to 3^-} \frac{\frac{d}{dx}(2x^2 - 4x - 6)}{\frac{d}{dx}(x - 3)} = \lim_{x \to 3^-} \frac{4x - 4}{1}$$ Sustituimos $x=3$: $$4(3) - 4 = 12 - 4 = 8$$ Como el límite por la izquierda ($8$) coincide con el límite por la derecha ($8$) y con el valor de la función ($f(3)=8$), la función es continua. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = \frac{4}{3}}$$