División de un segmento y plano de simetría

**a) Halle los puntos $C$ y $D$ que dividen al segmento $AB$ en tres partes de igual longitud. (1 punto)** Para dividir el segmento $AB$ en tres partes iguales, buscamos dos puntos $C$ y $D$ tales que se cumpla la relación vectorial: $$\vec{AC} = \frac{1}{3} \vec{AB} \quad \text{y} \quad \vec{AD} = \frac{2}{3} \vec{AB}$$ Primero, calculamos el vector director del segmento $\vec{AB}$ restando las coordenadas de sus extremos: $$\vec{AB} = B - A = (-2 - 2, 3 - (-1), 1 - 1) = (-4, 4, 0)$$ 💡 **Tip:** El vector que une dos puntos $P_1$ y $P_2$ es $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

El punto $C$ se obtiene sumando al punto $A$ la tercera parte del vector $\vec{AB}$: $$C = A + \frac{1}{3} \vec{AB}$$ $$C = (2, -1, 1) + \frac{1}{3} (-4, 4, 0) = (2, -1, 1) + \left(-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 0\right)$$ Operamos coordenada a coordenada: - $x_C = 2 - \frac{4}{3} = \frac{6-4}{3} = \frac{2}{3}$ - $y_C = -1 + \frac{4}{3} = \frac{-3+4}{3} = \frac{1}{3}$ - $z_C = 1 + 0 = 1$ $$\boxed{C\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1\right)}$$

El punto $D$ se puede obtener sumando al punto $A$ las dos terceras partes del vector $\vec{AB}$ o, de forma más sencilla, sumando el vector $\vec{AC}$ al punto $C$: $$D = C + \vec{AC} = C + \frac{1}{3} \vec{AB}$$ $$D = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1\right) + \left(-\frac{4}{3}, \frac{4}{3}, 0\right)$$ Operamos: - $x_D = \frac{2}{3} - \frac{4}{3} = -\frac{2}{3}$ - $y_D = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3}$ - $z_D = 1 + 0 = 1$ ✅ **Resultado (puntos de división):** $$\boxed{C\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, 1\right), \quad D\left(-\frac{2}{3}, \frac{5}{3}, 1\right)}$$

**b) Halle el plano respecto al cual los puntos $A$ y $B$ son simétricos. (1.5 puntos)** El plano respecto al cual dos puntos $A$ y $B$ son simétricos es el **plano mediador** del segmento $AB$. Este plano cumple dos condiciones fundamentales: 1. Es perpendicular al segmento $AB$, por lo que el vector $\vec{AB}$ es un vector normal al plano. 2. Pasa por el punto medio del segmento $AB$. 💡 **Tip:** Si un plano es el espejo entre $A$ y $B$, la recta que los une debe ser perpendicular al espejo y el espejo debe estar justo a la mitad de la distancia entre ambos.

Calculamos el punto medio $M$ del segmento $AB$ promediando sus coordenadas: $$M = \frac{A + B}{2} = \left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{-1 + 3}{2}, \frac{1 + 1}{2}\right)$$ $$M = \left(\frac{0}{2}, \frac{2}{2}, \frac{2}{2}\right) = (0, 1, 1)$$ $$\boxed{M(0, 1, 1)}$$

El vector normal del plano $\vec{n}$ es el vector $\vec{AB}$: $$\vec{n} = \vec{AB} = (-4, 4, 0)$$ Para simplificar los cálculos, podemos usar un vector proporcional más sencillo: $$\vec{n'} = (1, -1, 0)$$ La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituyendo las componentes del vector normal: $$1x - 1y + 0z + D = 0 \implies x - y + D = 0$$ Como el plano pasa por $M(0, 1, 1)$, sustituimos este punto para hallar $D$: $$0 - 1 + D = 0 \implies D = 1$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{x - y + 1 = 0}$$