Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**a) Estudie el sistema, según los valores de $a \in \mathbb{R}$. (1.5 puntos)** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & a \\ a-2 & 1 & 3 \\ 0 & a-1 & 0 \end{pmatrix}, \quad A^* = \begin{pmatrix} 0 & 2 & a & | & a \\ a-2 & 1 & 3 & | & 0 \\ 0 & a-1 & 0 & | & 1-a \end{pmatrix}$$ Para estudiar el sistema, calculamos el determinante de la matriz $A$. En este caso, lo más sencillo es desarrollar por la tercera fila (o la primera columna), ya que tienen varios ceros: $$|A| = \begin{vmatrix} 0 & 2 & a \\ a-2 & 1 & 3 \\ 0 & a-1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollando por la tercera fila: $$|A| = -(a-1) \begin{vmatrix} 0 & a \\ a-2 & 3 \end{vmatrix} = -(a-1) [0 - a(a-2)] = (a-1) \cdot a(a-2) = a(a-1)(a-2)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$a(a-1)(a-2) = 0 \implies \mathbf{a = 0, \ a = 1, \ a = 2}$$ 💡 **Tip:** El Teorema de Rouché-Frobenius nos dice que el sistema es compatible si el rango de la matriz de coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada ($rg(A) = rg(A^*)$).

Si **$a \neq 0$**, **$a \neq 1$** y **$a \neq 2$**: El determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Por lo tanto, el rango de $A$ es igual al número de incógnitas: $$rg(A) = 3 = rg(A^*) = n$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, lo que significa que tiene una única solución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1, 2\}, \text{ el sistema es SCD.}}$$

Sustituimos $a = 0$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 & | & 0 \\ -2 & 1 & 3 & | & 0 \\ 0 & -1 & 0 & | & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|A| = 0$, el $rg(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = 0 - (-4) = 4 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Ahora calculamos el rango de $A^*$ comprobando si el determinante de orden 3 que incluye la columna de términos independientes es no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 2 \cdot 3 \cdot 1 = 6 \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 0, \text{ el sistema es SI.}}$$

Sustituimos $a = 1$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 1 & | & 1 \\ -1 & 1 & 3 & | & 0 \\ 0 & 0 & 0 & | & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos que la tercera fila es nula, por lo que $rg(A^*) = rg(A)$. Buscamos un menor de orden 2 no nulo en $A$: $$\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Como $rg(A) = 2 = rg(A^*) \lt 3$ (número de incógnitas), según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ el sistema es SCI.}}$$

Sustituimos $a = 2$ en la matriz ampliada: $$A^* = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & | & 2 \\ 0 & 1 & 3 & | & 0 \\ 0 & 1 & 0 & | & -1 \end{pmatrix}$$ Sabemos que $rg(A) \lt 3$. Buscamos un menor de orden 2 en $A$: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 6 - 2 = 4 \neq 0 \implies rg(A) = 2$$ Comprobamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 2 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (-6 + 0 + 0) - (6 + 0 - 2) = -6 - 4 = -10 \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$$ Como $rg(A) = 2 \neq rg(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Si } a = 2, \text{ el sistema es SI.}}$$

**b) Resuélvalo cuando sea compatible indeterminado. (1 punto)** El sistema es SCI para **$a = 1$**. El sistema equivalente (usando las dos primeras filas) es: $$\begin{cases} 2y + z = 1 \\ -x + y + 3z = 0 \end{cases}$$ Como el rango es 2, necesitamos un parámetro. Hacemos **$z = \lambda$** ($ \lambda \in \mathbb{R}$): 1. De la primera ecuación despejamos $y$: $$2y + \lambda = 1 \implies 2y = 1 - \lambda \implies y = \frac{1 - \lambda}{2}$$ 2. Sustituimos en la segunda ecuación para despejar $x$: $$-x + \frac{1 - \lambda}{2} + 3\lambda = 0 \implies x = \frac{1 - \lambda}{2} + 3\lambda$$ $$x = \frac{1 - \lambda + 6\lambda}{2} = \frac{1 + 5\lambda}{2}$$ 💡 **Tip:** Al resolver un sistema indeterminado, el número de parámetros necesarios es igual a $n - rg(A)$. Aquí, $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\left( \frac{1 + 5\lambda}{2}, \frac{1 - \lambda}{2}, \lambda \right) \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}}$$