Discusión de matriz, matriz inversa y ecuación matricial

**a) Halle los valores de $m$ para los que la matriz $A$ tiene inversa. (0.75 puntos)** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, es necesario y suficiente que su determinante sea distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot m \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot m) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - (m \cdot m \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1)$$ Operamos los términos: $$|A| = m + m + 1 - m^2 - 1 - 1 = -m^2 + 2m - 1$$ 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz es regular (tiene inversa) si su determinante es no nulo. Si el determinante es cero, la matriz es singular.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$-m^2 + 2m - 1 = 0 \implies m^2 - 2m + 1 = 0$$ Esta es una ecuación de segundo grado que podemos resolver o identificar como un producto notable $(m-1)^2 = 0$. Resolviendo: $$m = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{0}}{2} = 1$$ Obtenemos una raíz única (doble) $m = 1$. Por lo tanto, la matriz $A$ tendrá inversa para cualquier valor de $m$ excepto para $m=1$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m \in \mathbb{R} \setminus \{1\}}$$

**b) Para $m = 2$, halle, si existe, la inversa de $A$. (1 punto)** Primero, sustituimos $m = 2$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante (sustituyendo en la expresión hallada en el apartado anterior o calculando de nuevo): $$|A| = -(2)^2 + 2(2) - 1 = -4 + 4 - 1 = -1$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz es invertible. La fórmula para la inversa es $A^{-1} = \frac{1}{|A|} (\text{Adj}(A))^T$. Calculamos los adjuntos de cada elemento $A_{ij}$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 4 = -3$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 2) = 1$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1$ 💡 **Tip:** Cuidado con la alternancia de signos en la matriz de adjuntos: $\begin{pmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{pmatrix}$.

Escribimos la matriz adjunta y realizamos su transpuesta: $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \implies (\text{Adj}(A))^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Finalmente, dividimos por el determinante $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -3 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix}}$$

**c) Para $m = 2$, calcule el vector $X$ que verifique $A \cdot X = B$ siendo $B = \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$. (0.75 puntos)** Tenemos la ecuación $A \cdot X = B$. Como sabemos que existe $A^{-1}$, podemos despejar $X$ multiplicando por la izquierda por la inversa: $$A^{-1} \cdot (A \cdot X) = A^{-1} \cdot B \implies X = A^{-1} \cdot B$$ Sustituimos los valores conocidos: $$X = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 3 & -1 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$ Realizamos la multiplicación matriz por vector: - $x_1 = (-1)(-4) + (0)(1) + (1)(4) = 4 + 0 + 4 = 8$ - $x_2 = (-1)(-4) + (1)(1) + (0)(4) = 4 + 1 + 0 = 5$ - $x_3 = (3)(-4) + (-1)(1) + (-1)(4) = -12 - 1 - 4 = -17$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de la multiplicación es fundamental. Si $A$ está a la izquierda de $X$, su inversa debe multiplicar a $B$ por la izquierda. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 8 \\ 5 \\ -17 \end{pmatrix}}$$