Geometría en el espacio: Plano que contiene a una recta y distancia mínima

**(a) [1'25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por $P$ y contiene a $r$.** Para trabajar con la recta $r$, primero pasaremos de su forma implícita a una forma más manejable (punto y vector director). 1. **Vector director ($\vec{v}_r$):** Se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta. $$\vec{n}_1 = (1, 1, 2), \quad \vec{n}_2 = (1, -2, -4)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -4 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-4 - (-4)) - \vec{j}(-4 - 2) + \vec{k}(-2 - 1) = 0\vec{i} + 6\vec{j} - 3\vec{k} = (0, 6, -3)$$ Podemos simplificar el vector director usando uno proporcional: **$\vec{v}_r = (0, 2, -1)$**. 2. **Punto de la recta ($A$):** Asignamos un valor a una de las variables, por ejemplo $z = 0$: $$\begin{cases} x + y = 1 \\ x - 2y = 1 \end{cases}$$ Restando ambas ecuaciones: $(x + y) - (x - 2y) = 1 - 1 \implies 3y = 0 \implies y = 0$. Sustituyendo $y=0$ en la primera: $x + 0 = 1 \implies x = 1$. Por tanto, un punto de la recta es **$A(1, 0, 0)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos es siempre perpendicular a los vectores normales de dichos planos.

Para hallar el plano $\pi$ que contiene a $r$ y pasa por $P(2, 3, -1)$, necesitamos un punto del plano (usaremos $P$) y dos vectores directores no paralelos contenidos en él. - Un vector es el de la recta: $\vec{u} = \vec{v}_r = (0, 2, -1)$. - El otro vector se forma con el punto $A(1, 0, 0)$ de la recta y el punto $P$: $$\vec{w} = \vec{AP} = P - A = (2-1, 3-0, -1-0) = (1, 3, -1)$$ La ecuación del plano se obtiene mediante el determinante: $$\begin{vmatrix} x - x_P & y - y_P & z - z_P \\ u_x & u_y & u_z \\ w_x & w_y & w_z \end{vmatrix} = 0 \implies \begin{vmatrix} x - 2 & y - 3 & z + 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 3 & -1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos por la primera fila: $$(x - 2)(-2 - (-3)) - (y - 3)(0 - (-1)) + (z + 1)(0 - 2) = 0$$ $$(x - 2)(1) - (y - 3)(1) + (z + 1)(-2) = 0$$ $$x - 2 - y + 3 - 2z - 2 = 0 \implies x - y - 2z - 1 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{x - y - 2z - 1 = 0}$$

**(b) [1'25 puntos] Halla el punto de $r$ que está más cerca de $P$.** El punto de una recta $r$ más cercano a un punto $P$ exterior es la proyección ortogonal de $P$ sobre $r$. Llamaremos a este punto $Q$. Para hallarlo, seguiremos estos pasos: 1. Definir la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. 2. Hallar un plano auxiliar $\pi'$ que sea perpendicular a $r$ y pase por $P$. 3. Calcular la intersección entre la recta $r$ y el plano $\pi'$. El punto resultante será $Q$. Ecuaciones paramétricas de $r$ usando $A(1, 0, 0)$ y $\vec{v}_r(0, 2, -1)$: $$r: \begin{cases} x = 1 \\ y = 2\lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** El vector director de la recta será el vector normal del plano perpendicular a ella.

1. **Plano perpendicular $\pi'$:** Si $\pi' \perp r$, entonces el vector normal de $\pi'$ es $\vec{n}_{\pi'} = \vec{v}_r = (0, 2, -1)$. La ecuación general de $\pi'$ es: $0x + 2y - 1z + D = 0$. Como $P(2, 3, -1) \in \pi'$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$2(3) - 1(-1) + D = 0 \implies 6 + 1 + D = 0 \implies D = -7$$ Así, el plano es **$\pi': 2y - z - 7 = 0$**. 2. **Intersección $Q = r \cap \pi'$:** Sustituimos las expresiones paramétricas de $r$ en la ecuación del plano $\pi'$: $$2(2\lambda) - (-\lambda) - 7 = 0$$ $$4\lambda + \lambda - 7 = 0 \implies 5\lambda = 7 \implies \lambda = \frac{7}{5}$$ Ahora calculamos las coordenadas de $Q$ sustituyendo $\lambda$ en la recta: $$x = 1$$ $$y = 2\left(\frac{7}{5}\right) = \frac{14}{5}$$ $$z = -\frac{7}{5}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{Q\left(1, \frac{14}{5}, -\frac{7}{5}\right)}$$