Discusión y resolución de un sistema con parámetros

**(a) [1'5 puntos] Determina los valores de $m$ para los que el sistema es compatible.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) asociadas al sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & -1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & m+1 \\ 1 & m & 1 & 1 \\ m & 1 & -1 & m \end{pmatrix}$$ Para estudiar la compatibilidad, utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona los rangos de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$). 💡 **Tip:** Un sistema es compatible si $rg(A) = rg(A^*)$. Si además este rango es igual al número de incógnitas, es determinado (una solución); si es menor, es indeterminado (infinitas soluciones).

Calculamos el determinante de $A$ aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & -1 \end{vmatrix} = [1 \cdot m \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot m + 0 \cdot 1 \cdot 1] - [0 \cdot m \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$|A| = (-m + m + 0) - (0 + 1 - 1) = 0 - 0 = 0$$ Como $|A| = 0$ para cualquier valor de $m$, el rango de $A$ siempre será menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero. Tomamos, por ejemplo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ m & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$$ Este menor no depende de $m$ (o siempre es distinto de cero para cualquier $m$ en otras posiciones). Por tanto, concluimos que: $$\boxed{rg(A) = 2 \text{ para cualquier } m \in \mathbb{R}}$$

Para que el sistema sea compatible, necesitamos que $rg(A^*) = rg(A) = 2$. Como el rango de $A$ es 2, el rango de $A^*$ será 2 si todos los menores de orden 3 que incluyen la columna de términos constantes son nulos. Consideramos el menor formado por las columnas 1, 3 y 4: $$M = \begin{vmatrix} 1 & 0 & m+1 \\ 1 & 1 & 1 \\ m & -1 & m \end{vmatrix}$$ Calculamos su determinante: $$|M| = [1 \cdot 1 \cdot m + 0 \cdot 1 \cdot m + (m+1) \cdot 1 \cdot (-1)] - [(m+1) \cdot 1 \cdot m + 0 \cdot 1 \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot (-1)]$$ $$|M| = (m - m - 1) - (m^2 + m - 1) = -1 - m^2 - m + 1 = -m^2 - m$$ Igualamos a cero para que el rango sea 2: $$-m^2 - m = 0 \implies -m(m + 1) = 0 \implies \begin{cases} m = 0 \\ m = -1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Si el determinante de un menor de orden 3 en $A^*$ es distinto de cero, $rg(A^*)=3$ y el sistema sería incompatible (ya que $rg(A)=2$).

Aplicamos el Teorema de Rouché-Frobenius según los valores de $m$: 1. **Si $m = 0$ o $m = -1$:** Se cumple que $rg(A) = rg(A^*) = 2$. Como el número de incógnitas es $n=3$, el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). 2. **Si $m \neq 0$ y $m \neq -1$:** Se cumple que $rg(A) = 2$ pero $rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) \neq rg(A^*)$, el sistema es **Incompatible** (no tiene solución). ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{\text{El sistema es compatible para } m = 0 \text{ y } m = -1}$$

**(b) [1 punto] Resuelve el sistema en el caso $m = -1$.** Sustituimos $m = -1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y + z = 1 \\ -x + y - z = -1 \end{cases}$$ Observamos que la tercera ecuación es la segunda multiplicada por $-1$ (son dependientes). Por tanto, trabajamos solo con las dos primeras: $$\begin{cases} x + y = 0 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$$ Como $rg(A)=2$, dejamos dos incógnitas en función de una tercera (parámetro). Sea **$x = \lambda$**: 1. De la primera ecuación: $\lambda + y = 0 \implies \mathbf{y = -\lambda}$ 2. De la segunda ecuación: $\lambda - (-\lambda) + z = 1 \implies 2\lambda + z = 1 \implies \mathbf{z = 1 - 2\lambda}$ 💡 **Tip:** En sistemas con infinitas soluciones, siempre debes expresar el resultado usando un parámetro (normalmente $\lambda, \mu, k \in \mathbb{R}$). ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -\lambda, 1 - 2\lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$