Área entre parábola y dos rectas horizontales

El recinto está limitado por la parábola $y = x^2$ y las rectas horizontales $y = 4$ e $y = a$ (donde $0 \lt a \lt 4$). Para calcular el área, primero identificamos los puntos de intersección de la parábola con las rectas: 1. Intersección con $y = 4$: $$x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ 2. Intersección con $y = a$: $$x^2 = a \implies x = \pm \sqrt{a}$$ Como la parábola es simétrica respecto al eje $Y$, el área total será el doble de la región situada en el primer cuadrante. 💡 **Tip:** Dibujar las funciones ayuda a visualizar que el área solicitada es la región comprendida entre la recta superior $y=4$ y la inferior $y=a$, pero limitada lateralmente por la curva $y=x^2$.

A continuación, se muestra el recinto para el valor de $a$ que debemos encontrar:

El área del recinto se puede calcular restando el área de la región limitada por $y=x^2$ e $y=4$ menos el área de la región limitada por $y=x^2$ e $y=a$. Llamemos $A_1$ al área entre la parábola e $y=4$: $$A_1 = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx = 2 \int_{0}^{2} (4 - x^2) dx$$ Llamemos $A_2$ al área entre la parábola e $y=a$: $$A_2 = \int_{-\sqrt{a}}^{\sqrt{a}} (a - x^2) dx = 2 \int_{0}^{\sqrt{a}} (a - x^2) dx$$ El área total del recinto será $S = A_1 - A_2$. Según el enunciado, $S = \frac{28}{3}$. 💡 **Tip:** También podríamos integrar respecto al eje $Y$, lo cual simplificaría el planteamiento: $S = \int_{a}^{4} 2\sqrt{y} \, dy$.

Calculamos $A_1$ aplicando la Regla de Barrow: $$A_1 = 2 \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = 2 \left( (4 \cdot 2 - \frac{8}{3}) - 0 \right) = 2 \left( 8 - \frac{8}{3} \right) = 2 \left( \frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}$$ Calculamos $A_2$ en función de $a$: $$A_2 = 2 \left[ ax - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{a}} = 2 \left( (a\sqrt{a} - \frac{(\sqrt{a})^3}{3}) - 0 \right) = 2 \left( a\sqrt{a} - \frac{a\sqrt{a}}{3} \right) = 2 \left( \frac{2a\sqrt{a}}{3} \right) = \frac{4a\sqrt{a}}{3}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $(\sqrt{a})^3 = a^{3/2} = a\sqrt{a}$.

Igualamos la diferencia de las áreas al valor dado en el enunciado: $$A_1 - A_2 = \frac{28}{3}$$ $$\frac{32}{3} - \frac{4a\sqrt{a}}{3} = \frac{28}{3}$$ Multiplicamos toda la ecuación por 3 para eliminar denominadores: $$32 - 4a\sqrt{a} = 28$$ Despejamos el término con $a$: $$32 - 28 = 4a\sqrt{a} \implies 4 = 4a\sqrt{a} \implies 1 = a\sqrt{a}$$ Para resolver $a\sqrt{a} = 1$, elevamos ambos miembros al cuadrado (o expresamos como potencia): $$a^{3/2} = 1 \implies a = 1^{2/3} = 1$$ Comprobamos que $a=1$ cumple las condiciones del enunciado ($a > 0$ y $a < 4$). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 1}$$