Optimización del área de un triángulo

Para resolver este problema de optimización, primero identificamos las variables que intervienen: - $b$: base del triángulo en $\text{cm}$. - $h$: altura del triángulo en $\text{cm}$. El enunciado nos da una restricción: la suma de la base y la altura es $20\text{ cm}$: $$b + h = 20 \implies h = 20 - b$$ Queremos maximizar el **área del triángulo**, que viene dada por la fórmula: $$A = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{b \cdot h}{2}$$ Sustituimos $h$ en función de $b$ para obtener la función área $A(b)$: $$A(b) = \frac{b(20 - b)}{2} = \frac{20b - b^2}{2} = 10b - \frac{1}{2}b^2$$ 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el primer paso es siempre expresar la magnitud a maximizar o minimizar en función de una única variable usando los datos del problema.

Dado que tanto la base como la altura deben ser magnitudes positivas, tenemos las restricciones: - $b > 0$ - $h > 0 \implies 20 - b > 0 \implies b < 20$ Por tanto, el dominio de nuestra función es $b \in (0, 20)$. Calculamos la primera derivada de $A(b)$ para hallar los puntos críticos: $$A'(b) = \frac{d}{db}\left(10b - \frac{1}{2}b^2\right) = 10 - b$$ Igualamos la derivada a cero para encontrar el valor de $b$ que maximiza el área: $$A'(b) = 0 \implies 10 - b = 0 \implies b = 10$$ $$\boxed{b = 10\text{ cm}}$$

Para confirmar que en $b = 10$ existe un máximo relativo, utilizaremos el criterio de la **segunda derivada**. Calculamos $A''(b)$: $$A''(b) = \frac{d}{db}(10 - b) = -1$$ Como $A''(10) = -1 < 0$, por el criterio de la segunda derivada, la función presenta un **máximo relativo** en $b = 10$. También podemos observar el cambio de signo de la primera derivada en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} b & (0,10) & 10 & (10,20)\\ \hline A'(b) = 10 - b & + & 0 & -\\ \hline A(b) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ Como la función es creciente antes de $10$ y decreciente después, el máximo es absoluto en el intervalo considerado. 💡 **Tip:** Recuerda que si $f''(a) < 0$, entonces $x=a$ es un máximo; si $f''(a) > 0$, es un mínimo.

Hemos determinado que la base que maximiza el área es $b = 10\text{ cm}$. Para completar el ejercicio, calculamos la altura correspondiente: $$h = 20 - 10 = 10\text{ cm}$$ (En este caso, el triángulo de área máxima para una suma dada de base y altura es aquel donde ambas dimensiones son iguales). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{La base debe medir } 10\text{ cm}}$$