Posición relativa de dos rectas y plano paralelo

**(a) [1 punto] Estudia la posición relativa de $r$ y $s$.** En primer lugar, necesitamos determinar un punto y un vector director para cada una de las rectas dadas en su forma implícita. Para la recta $r: \begin{cases} x - y = -2 \\ x - z = -3 \end{cases}$: Podemos parametrizar haciendo $x = \lambda$. Entonces: $y = x + 2 = \lambda + 2$ $z = x + 3 = \lambda + 3$ De aquí obtenemos: - Punto de $r$: $P_r(0, 2, 3)$ - Vector director de $r$: $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ Para la recta $s: \begin{cases} x = 1 \\ 2y - z = -2 \end{cases}$: Podemos parametrizar haciendo $y = \mu$. Entonces: $x = 1$ $z = 2y + 2 = 2\mu + 2$ De aquí obtenemos: - Punto de $s$: $P_s(1, 0, 2)$ - Vector director de $s$: $\vec{v_s} = (0, 1, 2)$ 💡 **Tip:** Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables y despejar las demás en función de dicho parámetro.

Para estudiar la posición relativa, primero comprobamos si los vectores directores son paralelos. Comparamos $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v_s} = (0, 1, 2)$. Sus componentes no son proporcionales: $$\frac{1}{0} \neq \frac{1}{1} \neq \frac{1}{2}$$ Como los vectores no son proporcionales, las rectas **se cortan en un punto** o **se cruzan en el espacio**. Para distinguirlo, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = (1 - 0, 0 - 2, 2 - 3) = (1, -2, -1)$$ Calculamos el determinante $D = \det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s})$: $$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por la regla de Sarrus: $$D = (1 \cdot 1 \cdot (-1) + 1 \cdot 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-2)) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot (-1) + (-1) \cdot 2 \cdot (-2))$$ $$D = (-1 + 2 + 0) - (1 + 0 - 4) = 1 - (-3) = 4$$ 💡 **Tip:** Si el determinante es cero, los tres vectores son coplanarios y las rectas se cortan. Si es distinto de cero, los vectores son linealmente independientes y las rectas se cruzan.

Como el determinante $D = 4 \neq 0$, los vectores $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y $\vec{P_r P_s}$ son linealmente independientes. Esto significa que las rectas no están en el mismo plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**(b) [1'5 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a $s$ y es paralelo a $r$.** Si el plano $\pi$ contiene a la recta $s$ y es paralelo a $r$, entonces: 1. El plano pasa por el punto $P_s(1, 0, 2)$ de la recta $s$. 2. Los vectores directores del plano son el vector director de $s$ ($\vec{v_s} = (0, 1, 2)$) y el vector director de $r$ ($\vec{v_r} = (1, 1, 1)$). Para hallar la ecuación general del plano $\pi$, calculamos el determinante: $$\begin{vmatrix} x - 1 & y - 0 & z - 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano queda determinado por un punto y dos vectores directores no paralelos $\vec{u}, \vec{v}$ mediante el determinante $\det(\vec{X-P}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$.

Desarrollamos el determinante anterior por la primera fila: $$(x - 1) \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} + (z - 2) \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los adjuntos: $$(x - 1)(1 - 2) - y(0 - 2) + (z - 2)(0 - 1) = 0$$ $$(x - 1)(-1) - y(-2) + (z - 2)(-1) = 0$$ $$-x + 1 + 2y - z + 2 = 0$$ $$-x + 2y - z + 3 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para obtener una expresión más usual: $$x - 2y + z - 3 = 0$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi: x - 2y + z - 3 = 0}$$