Invertibilidad, matriz inversa y ecuación matricial

**(a) [0'75 puntos] Determina los valores de $k$ para los que $B$ no tiene inversa.** Primero, obtenemos la expresión de la matriz $B = A - kI$: $$B = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3-k & 1 \\ 2 & -1-k \end{pmatrix}$$ Una matriz cuadrada no tiene inversa si y solo si su determinante es igual a cero. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz $M$ es regular (tiene inversa) si $|M| \neq 0$ y es singular (no tiene inversa) si $|M| = 0$.

Calculamos el determinante de $B$ e igualamos a cero: $$|B| = \begin{vmatrix} -3-k & 1 \\ 2 & -1-k \end{vmatrix} = (-3-k)(-1-k) - (2)(1)$$ Desarrollamos el producto: $$|B| = 3 + 3k + k + k^2 - 2 = k^2 + 4k + 1$$ Igualamos a cero para encontrar los valores de $k$ buscados: $$k^2 + 4k + 1 = 0$$ Aplicamos la fórmula general de la ecuación de segundo grado: $$k = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(1)(1)}}{2(1)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16-4}}{2} = \frac{-4 \pm \sqrt{12}}{2}$$ Simplificamos el radical $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$: $$k = \frac{-4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -2 \pm \sqrt{3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{k = -2 + \sqrt{3}, \quad k = -2 - \sqrt{3}}$$

**(b) [0'75 puntos] Calcula $B^{-1}$ para $k = -1$.** Sustituimos $k = -1$ en la expresión de $B$ hallada anteriormente: $$B = \begin{pmatrix} -3-(-1) & 1 \\ 2 & -1-(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$$ Calculamos su determinante para asegurar que existe la inversa: $$|B| = (-2)(0) - (2)(1) = -2$$ Como $|B| \neq 0$, existe $B^{-1}$.

Para calcular $B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B)^t$, primero hallamos la matriz de adjuntos (cofactores): - $C_{11} = (-1)^{1+1}(0) = 0$ - $C_{12} = (-1)^{1+2}(2) = -2$ - $C_{21} = (-1)^{2+1}(1) = -1$ - $C_{22} = (-1)^{2+2}(-2) = -2$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -1 & -2 \end{pmatrix}$. Su traspuesta es $\text{Adj}(B)^t = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix}$. Finalmente: $$B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -2 & -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1/2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para una matriz $2 \times 2$ del tipo $\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, la inversa es $\frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2} \\ 1 & 1 \end{pmatrix}}$$

**(c) [1'25 puntos] Determina las constantes $\alpha$ y $\beta$ para las que se cumple $A^2 + \alpha A = \beta I$.** Calculamos $A^2 = A \cdot A$: $$A^2 = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-3)(-3) + (1)(2) & (-3)(1) + (1)(-1) \\ (2)(-3) + (-1)(2) & (2)(1) + (-1)(-1) \end{pmatrix}$$ $$A^2 = \begin{pmatrix} 9+2 & -3-1 \\ -6-2 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 11 & -4 \\ -8 & 3 \end{pmatrix}$$

Sustituimos $A^2$, $A$ e $I$ en la ecuación $A^2 + \alpha A = \beta I$: $$\begin{pmatrix} 11 & -4 \\ -8 & 3 \end{pmatrix} + \alpha \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 2 & -1 \end{pmatrix} = \beta \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} 11-3\alpha & -4+\alpha \\ -8+2\alpha & 3-\alpha \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \beta & 0 \\ 0 & \beta \end{pmatrix}$$ Para que dos matrices sean iguales, deben serlo todos sus elementos: 1) $11 - 3\alpha = \beta$ 2) $-4 + \alpha = 0 \implies \alpha = 4$ 3) $-8 + 2\alpha = 0 \implies 2\alpha = 8 \implies \alpha = 4$ (consistente) 4) $3 - \alpha = \beta$ Sustituimos $\alpha = 4$ en la primera o cuarta ecuación para hallar $\beta$: $$\beta = 3 - 4 = -1$$ Comprobamos en la primera: $11 - 3(4) = 11 - 12 = -1$. Es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 4, \quad \beta = -1}$$