Área limitada por una función con valor absoluto

**(a) [1 punto] Determina los puntos de corte de las gráficas de $f$ y $g$. Esboza dichas gráficas.** Para trabajar con la función $f(x) = x^2 + |x|$, lo primero es eliminar el valor absoluto recordando su definición: $$|x| = \begin{cases} -x & \text{si } x \lt 0 \\ x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ Así, reescribimos $f(x)$ como una función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} x^2 - x & \text{si } x \lt 0 \\ x^2 + x & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que aparezca un valor absoluto en una función, el primer paso suele ser desglosarla en ramas para facilitar el cálculo de límites, derivadas o integrales.

Para hallar los puntos de corte igualamos ambas funciones: $f(x) = g(x)$, es decir, $x^2 + |x| = 2$. Resolvemos para cada rama: 1. **Si $x \lt 0$:** $$x^2 - x = 2 \implies x^2 - x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 2, \; x_2 = -1$$ Como estamos en el intervalo $x \lt 0$, solo es válida la solución **$x = -1$**. 2. **Si $x \ge 0$:** $$x^2 + x = 2 \implies x^2 + x - 2 = 0$$ $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-2)}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2} \implies x_1 = 1, \; x_2 = -2$$ Como estamos en el intervalo $x \ge 0$, solo es válida la solución **$x = 1$**. Los puntos de corte tienen ordenada $y = 2$. Por tanto, los puntos son: $$\boxed{(-1, 2) \text{ y } (1, 2)}$$

Para representar las funciones observamos que: - $g(x) = 2$ es una recta horizontal. - $f(x)$ está compuesta por dos parábolas que se unen en el origen $(0,0)$. - $f(x)$ es una función par, ya que $f(-x) = (-x)^2 + |-x| = x^2 + |x| = f(x)$, lo que implica simetría respecto al eje $Y$. Las gráficas se cortan en $x = -1$ y $x = 1$ y el recinto queda encerrado entre ambas.

**(b) [1'5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por dichas gráficas.** El área $A$ es la integral de la función "superior" menos la "inferior" entre los puntos de corte $x = -1$ y $x = 1$. En el intervalo $[-1, 1]$, la función superior es $g(x) = 2$ y la inferior es $f(x)$. $$A = \int_{-1}^{1} (g(x) - f(x)) \, dx = \int_{-1}^{1} (2 - (x^2 + |x|)) \, dx$$ Aprovechando la **simetría** de la función (es par), podemos calcular el doble del área desde $0$ hasta $1$: $$A = 2 \int_{0}^{1} (2 - (x^2 + x)) \, dx$$ 💡 **Tip:** Usar la simetría en integrales de funciones pares o impares simplifica mucho los cálculos y reduce errores al evaluar el límite inferior en cero.

Calculamos la primitiva y aplicamos la Regla de Barrow: $$A = 2 \left[ 2x - \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1}$$ Evaluamos en el límite superior $x = 1$: $$A = 2 \left( 2(1) - \frac{1^3}{3} - \frac{1^2}{2} \right) - 2(0)$$ $$A = 2 \left( 2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} \right)$$ Obtenemos el común denominador: $$A = 2 \left( \frac{12 - 2 - 3}{6} \right) = 2 \left( \frac{7}{6} \right) = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Área} = \frac{7}{3} \text{ u}^2 \approx 2,33 \text{ u}^2}$$