Estudio completo de una función trascendente

**(a) [0'75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de $f$, así como los extremos relativos o locales de $f$.** Para estudiar la monotonía, primero calculamos la derivada de la función $f(x) = x + e^{-x}$: $$f'(x) = 1 + e^{-x} \cdot (-1) = 1 - e^{-x}.$$ Buscamos los puntos críticos resolviendo $f'(x) = 0$: $$1 - e^{-x} = 0 \implies 1 = e^{-x}.$$ Tomando logaritmos neperianos en ambos lados: $$\ln(1) = \ln(e^{-x}) \implies 0 = -x \implies x = 0.$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivada de $e^{u(x)}$ es $e^{u(x)} \cdot u'(x)$. Aquí $u(x) = -x$, por lo que su derivada es $-1$. $$\boxed{x = 0 \text{ es el único punto crítico}}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ a ambos lados de $x = 0$ para determinar el crecimiento y decrecimiento: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ \hline f(x) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - En $(-\infty, 0)$, tomamos $x = -1$: $f'(-1) = 1 - e^1 \approx 1 - 2.71 \lt 0$ (**decreciente**). - En $(0, +\infty)$, tomamos $x = 1$: $f'(1) = 1 - e^{-1} \approx 1 - 0.37 \gt 0$ (**creciente**). Al pasar de decreciente a creciente en $x = 0$, existe un **mínimo relativo**. Calculamos su ordenada: $$f(0) = 0 + e^{-0} = 0 + 1 = 1.$$ ✅ **Resultado (Monotonía y Extremos):** $$\boxed{\begin{aligned} &\text{Decreciente en: } (-\infty, 0) \\ &\text{Creciente en: } (0, +\infty) \\ &\text{Mínimo relativo en: } (0, 1) \end{aligned}}$$

**(b) [0'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de $f$.** Calculamos la segunda derivada partiendo de $f'(x) = 1 - e^{-x}$: $$f''(x) = 0 - e^{-x} \cdot (-1) = e^{-x}.$$ Para estudiar la curvatura, analizamos el signo de $f''(x)$. Sabemos que la función exponencial $e^a$ es siempre positiva para cualquier valor de $a \in \mathbb{R}$. Por tanto: $$f''(x) = e^{-x} \gt 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.$$ Como la segunda derivada es siempre positiva, la función es **convexa** (cóncava hacia arriba) en todo su dominio. No existen puntos de inflexión ya que $f''(x)$ nunca se anula. ✅ **Resultado (Curvatura):** $$\boxed{\text{Convexa en todo } \mathbb{R} \text{ (o intervalo } (-\infty, +\infty))}$$

**(c) [0'75 puntos] Determina las asíntotas de la gráfica de $f$.** **1. Asíntotas Verticales (AV):** La función es continua en todo $\mathbb{R}$ (suma de un polinomio y una exponencial). Por tanto, **no tiene asíntotas verticales**. **2. Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites en el infinito: - En $+\infty$: $\lim_{x \to +\infty} (x + e^{-x}) = \infty + 0 = +\infty$. (No hay AH). - En $-\infty$: $\lim_{x \to -\infty} (x + e^{-x}) = -\infty + e^{\infty} = -\infty + \infty$ (Indeterminación). Evaluando el crecimiento, $e^{-x}$ crece mucho más rápido que $x$ hacia $-\infty$, por lo que $\lim_{x \to -\infty} (x + e^{-x}) = +\infty$. (No hay AH). 💡 **Tip:** Si no hay asíntota horizontal, procedemos a buscar la oblicua.

**3. Asíntotas Oblicuas (AO):** $y = mx + n$ **Para $x \to +\infty$:** $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x + e^{-x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} (1 + \frac{e^{-x}}{x}) = 1 + 0 = 1.$$ $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} (x + e^{-x} - x) = \lim_{x \to +\infty} e^{-x} = 0.$$ Hay una **asíntota oblicua en $y = x$** cuando $x \to +\infty$. **Para $x \to -\infty$:** $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{x + e^{-x}}{x} = 1 + \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{-x}}{x} \xrightarrow{L'H} 1 + \lim_{x \to -\infty} \frac{-e^{-x}}{1} = -\infty.$$ No hay asíntota oblicua cuando $x \to -\infty$. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: No hay; AO: } y = x \text{ (sólo para } x \to +\infty)}$$

**(d) [0'5 puntos] Esboza la gráfica de $f$.** Utilizamos toda la información recopilada: 1. Pasa por el punto **$(0, 1)$**, que es un mínimo relativo. 2. Es siempre **convexa**. 3. Cuando $x \to +\infty$, la gráfica se aproxima a la recta **$y = x$**. 4. Cuando $x \to -\infty$, la función tiende a $+\infty$ de forma exponencial. En el interactivo se puede observar cómo la curva se pega a la recta $y=x$ por la derecha y crece rápidamente por la izquierda.