Geometría métrica: Rectas, planos y distancias

**(a) [1 punto] Determina la ecuación del plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $P(1, 1, 1)$.** Para trabajar con la recta $r$, primero necesitamos conocer su vector director $\vec{v_r}$. La recta nos viene dada como intersección de dos planos (forma implícita): $$\pi_1: 3x + 2y = 0 \implies \vec{n_1} = (3, 2, 0)$$ $$\pi_2: 3x + z = 0 \implies \vec{n_2} = (3, 0, 1)$$ El vector director de la recta se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales a dichos planos: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por Sarrus (o desarrollo por la primera fila): $$\vec{v_r} = \vec{i}(2\cdot 1 - 0\cdot 0) - \vec{j}(3\cdot 1 - 0\cdot 3) + \vec{k}(3\cdot 0 - 2\cdot 3)$$ $$\vec{v_r} = 2\vec{i} - 3\vec{j} - 6\vec{k} = (2, -3, -6)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida por la intersección de dos planos siempre es perpendicular a los vectores normales de ambos planos.

Si el plano $\pi$ es perpendicular a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v_r}$ será el vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Por tanto: $\vec{n_\pi} = \vec{v_r} = (2, -3, -6)$. La ecuación general de un plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$2x - 3y - 6z + D = 0$$ Como el plano pasa por el punto $P(1, 1, 1)$, este debe satisfacer la ecuación: $$2(1) - 3(1) - 6(1) + D = 0$$ $$2 - 3 - 6 + D = 0 \implies -7 + D = 0 \implies D = 7$$ Sustituyendo $D$ obtenemos la ecuación final del plano. ✅ **Resultado (apartado a):** $$\boxed{2x - 3y - 6z + 7 = 0}$$

**(b) [1'5 puntos] Halla los puntos de $r$ cuya distancia al origen es de 4 unidades.** Para hallar puntos específicos en una recta que cumplan una condición de distancia, es conveniente expresar la recta en ecuaciones paramétricas. Buscamos un punto de la recta. Si hacemos $x = 0$ en el sistema original: $$3(0) + 2y = 0 \implies y = 0$$ $$3(0) + z = 0 \implies z = 0$$ El origen $O(0,0,0)$ pertenece a la recta (esto simplificará mucho los cálculos posteriores). Con el punto $(0,0,0)$ y el vector $\vec{v_r} = (2, -3, -6)$, las ecuaciones paramétricas son: $$r: \begin{cases} x = 2\lambda \\ y = -3\lambda \\ z = -6\lambda \end{cases} \quad \lambda \in \mathbb{R}$$ Cualquier punto $Q$ de la recta $r$ tiene la forma $Q(2\lambda, -3\lambda, -6\lambda)$.

Queremos encontrar los puntos $Q$ tales que la distancia al origen $O(0, 0, 0)$ sea 4. Aplicamos la fórmula de la distancia entre dos puntos: $$d(O, Q) = \sqrt{(2\lambda - 0)^2 + (-3\lambda - 0)^2 + (-6\lambda - 0)^2} = 4$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$(2\lambda)^2 + (-3\lambda)^2 + (-6\lambda)^2 = 4^2$$ $$4\lambda^2 + 9\lambda^2 + 36\lambda^2 = 16$$ $$49\lambda^2 = 16$$ Despejamos $\lambda$: $$\lambda^2 = \frac{16}{49} \implies \lambda = \pm \sqrt{\frac{16}{49}} = \pm \frac{4}{7}$$ Obtenemos dos valores posibles para el parámetro $\lambda$: $\lambda_1 = \frac{4}{7}$ y $\lambda_2 = -\frac{4}{7}$. 💡 **Tip:** Recuerda que al resolver una ecuación del tipo $x^2 = a$, siempre debemos considerar las dos soluciones: positiva y negativa.

Sustituimos los valores de $\lambda$ en las ecuaciones paramétricas de la recta para hallar las coordenadas de los puntos: 1. **Para $\lambda_1 = \frac{4}{7}$:** $$x = 2\left(\frac{4}{7}\right) = \frac{8}{7}$$ $$y = -3\left(\frac{4}{7}\right) = -\frac{12}{7}$$ $$z = -6\left(\frac{4}{7}\right) = -\frac{24}{7}$$ $$Q_1 = \left(\frac{8}{7}, -\frac{12}{7}, -\frac{24}{7}\right)$$ 2. **Para $\lambda_2 = -\frac{4}{7}$:** $$x = 2\left(-\frac{4}{7}\right) = -\frac{8}{7}$$ $$y = -3\left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{12}{7}$$ $$z = -6\left(-\frac{4}{7}\right) = \frac{24}{7}$$ $$Q_2 = \left(-\frac{8}{7}, \frac{12}{7}, \frac{24}{7}\right)$$ ✅ **Resultado (apartado b):** $$\boxed{Q_1\left(\frac{8}{7}, -\frac{12}{7}, -\frac{24}{7}\right) \text{ y } Q_2\left(-\frac{8}{7}, \frac{12}{7}, \frac{24}{7}\right)}$$