Inversa de una matriz y resolución de un sistema homogéneo

**(a) [1 punto] Calcula, si existe, $A^{-1}$.** Una matriz cuadrada $A$ tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [(-2) \cdot 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-2) \cdot (-2)] - [1 \cdot 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) + (-2) \cdot (-2) \cdot (-2)]$$ $$|A| = [4 + 4 + 4] - [1 - 8 - 8] = 12 - (-15) = 27$$ Como $|A| = 27 \neq 0$, la matriz **$A$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que si el determinante es cero, la matriz es singular y no tiene inversa.

Para hallar $A^{-1}$, utilizamos la fórmula $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{Adj}(A^t)$. Primero, calculamos la matriz traspuesta $A^t$. Observamos que $A$ es una matriz simétrica ($A = A^t$): $$A^t = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ Calculamos la matriz de los adjuntos de $A^t$: - $A_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = -2 - 4 = -6$ - $A_{12} = -\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6$ - $A_{13} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$ - $A_{21} = -\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6$ - $A_{22} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$ - $A_{23} = -\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6$ - $A_{31} = +\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} = 4 - 1 = 3$ - $A_{32} = -\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6$ - $A_{33} = +\begin{vmatrix} -2 & -2 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} = -2 - 4 = -6$ La matriz adjunta es $\text{Adj}(A^t) = \begin{pmatrix} -6 & -6 & 3 \\ -6 & 3 & -6 \\ 3 & -6 & -6 \end{pmatrix}$. Dividimos cada elemento por $|A| = 27$: $$A^{-1} = \frac{1}{27} \begin{pmatrix} -6 & -6 & 3 \\ -6 & 3 & -6 \\ 3 & -6 & -6 \end{pmatrix} = \frac{1}{9} \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -2/9 & -2/9 & 1/9 \\ -2/9 & 1/9 & -2/9 \\ 1/9 & -2/9 & -2/9 \end{pmatrix}}$$

**(b) [1'5 puntos] Resuelve el sistema $AX = 3X$ e interpreta geométricamente el conjunto de sus soluciones.** El sistema $AX = 3X$ se puede reescribir como un sistema homogéneo: $$AX - 3X = 0 \implies (A - 3I)X = 0$$ Donde $I$ es la matriz identidad de orden 3. Calculamos la matriz $M = A - 3I$: $$M = \begin{pmatrix} -2 & -2 & 1 \\ -2 & 1 & -2 \\ 1 & -2 & -2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -5 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix}$$ El sistema es: $$\begin{pmatrix} -5 & -2 & 1 \\ -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Un sistema de la forma $MX = 0$ siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $x=y=z=0$).

Para resolver el sistema, analizamos el rango de la matriz $M$. Simplificamos la segunda fila dividiendo por $-2$: $$x + y + z = 0 \implies y = -x - z$$ Sustituimos en la primera ecuación: $$-5x - 2(-x - z) + z = 0$$ $$-5x + 2x + 2z + z = 0$$ $$-3x + 3z = 0 \implies x = z$$ Ahora hallamos $y$ en función de $z$: $$y = -z - z = -2z$$ Comprobamos en la tercera ecuación: $$x - 2y - 5z = z - 2(-2z) - 5z = z + 4z - 5z = 0$$ Las soluciones dependen de un parámetro $\lambda \in \mathbb{R}$. Si hacemos $z = \lambda$, tenemos: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado (solución):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -2\lambda, \lambda) \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

El conjunto de soluciones depende de un único parámetro lineal, lo que indica que el sistema representa una recta en el espacio tridimensional. Dado que el sistema es homogéneo, la recta pasa por el origen de coordenadas $(0,0,0)$. El vector director de la recta es $\vec{v} = (1, -2, 1)$. ✅ **Interpretación:** $$\boxed{\text{El conjunto de soluciones representa geométricamente una recta que pasa por el origen.}}$$