Identificación de gráficas y cálculo de área

**(a) [0'5 puntos] Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de $f$ y cuál la de $f'$.** Para identificar las gráficas, primero calculamos la función derivada $f'(x)$: $$f(x) = \frac{2}{x} + 2\ln(x) = 2x^{-1} + 2\ln(x)$$ $$f'(x) = 2(-1)x^{-2} + 2\left(\frac{1}{x}\right) = -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{x}$$ Buscamos los puntos críticos de $f$ haciendo $f'(x) = 0$: $$-\frac{2}{x^2} + \frac{2}{x} = 0 \implies \frac{-2 + 2x}{x^2} = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ alrededor de $x=1$: - Si $x \in (0, 1)$, $f'(x) < 0$ (la función $f$ decrece). - Si $x \in (1, +\infty)$, $f'(x) > 0$ (la función $f$ crece). Esto significa que $f(x)$ tiene un **mínimo relativo** en $x=1$. En el dibujo, la gráfica que presenta un mínimo en $x=1$ es la curva superior (azul en el interactivo), mientras que la gráfica que corta al eje $OX$ en $x=1$ es la derivada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La gráfica de } f ext{ es la que tiene un mínimo en } x=1. \text{ La gráfica de } f' ext{ es la que corta al eje } OX ext{ en } x=1.}$$

**(b) [2 puntos] Calcula el área de la región sombreada.** Observando la gráfica, la región sombreada está comprendida entre las funciones $f(x)$ y $f'(x)$ en el intervalo $[1, 2]$ (el límite superior $x=2$ se deduce del punto de corte o del enunciado visual del recinto). En este intervalo $[1, 2]$, la función $f(x)$ queda por encima de $f'(x)$. Por tanto, el área $A$ es: $$A = \int_{1}^{2} [f(x) - f'(x)] \, dx$$ Sustituimos las expresiones: $$f(x) - f'(x) = \left( \frac{2}{x} + 2\ln(x) \right) - \left( -\frac{2}{x^2} + \frac{2}{x} \right) = 2\ln(x) + \frac{2}{x^2}$$ 💡 **Tip:** El área entre dos curvas $g(x)$ y $h(x)$ en $[a, b]$ es $\int_a^b |g(x) - h(x)| dx$. Aquí $f(x) > f'(x)$ en el intervalo dado.

Calculamos la integral indefinida $\int (2\ln(x) + 2x^{-2}) \, dx$ descomponiéndola en dos partes: 1. Para $\int 2\ln(x) \, dx$, usamos integración por partes $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: - $u = \ln(x) \implies du = \frac{1}{x} dx$ - $dv = 2 \, dx \implies v = 2x$ $$\int 2\ln(x) \, dx = 2x\ln(x) - \int 2x \frac{1}{x} \, dx = 2x\ln(x) - 2x$$ 2. Para $\int 2x^{-2} \, dx$: $$\int 2x^{-2} \, dx = 2 \frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{2}{x}$$ La primitiva completa es: $$G(x) = 2x\ln(x) - 2x - \frac{2}{x}$$

Aplicamos la Regla de Barrow en el intervalo $[1, 2]$: $$A = \left[ 2x\ln(x) - 2x - \frac{2}{x} \right]_{1}^{2}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=2$): $$G(2) = 2(2)\ln(2) - 2(2) - \frac{2}{2} = 4\ln(2) - 4 - 1 = 4\ln(2) - 5$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=1$): $$G(1) = 2(1)\ln(1) - 2(1) - \frac{2}{1} = 0 - 2 - 2 = -4$$ Restamos los valores: $$A = (4\ln(2) - 5) - (-4) = 4\ln(2) - 5 + 4 = 4\ln(2) - 1$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área} = 4\ln(2) - 1 \approx 1.7726 \text{ u}^2}$$