Determinación de los coeficientes de una función polinómica

Para determinar los parámetros $a, b, c$ y $d$, utilizaremos la información proporcionada sobre los extremos relativos. Primero, calculamos la derivada genérica de la función $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$: $$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c$$ La información de que existe un extremo relativo en el punto $(0,0)$ nos da dos condiciones: 1. **El punto pertenece a la gráfica:** $f(0) = 0$. $$a(0)^3 + b(0)^2 + c(0) + d = 0 \implies d = 0$$ 2. **Es un extremo relativo:** La derivada en ese punto debe ser cero, $f'(0) = 0$. $$3a(0)^2 + 2b(0) + c = 0 \implies c = 0$$ 💡 **Tip:** Si un punto $(x_0, y_0)$ es un extremo relativo de una función derivable, se cumplen dos cosas: $f(x_0) = y_0$ y $f'(x_0) = 0$. $$\boxed{c = 0, \quad d = 0}$$

Del mismo modo, el hecho de que haya un extremo relativo en $(2, 2)$ nos proporciona otras dos condiciones: 1. **El punto pertenece a la gráfica:** $f(2) = 2$. Sustituyendo $x=2, y=2$ y usando que $c=0$ y $d=0$: $$a(2)^3 + b(2)^2 + 0(2) + 0 = 2 \implies 8a + 4b = 2$$ Simplificando la ecuación (dividiendo entre 2): $$4a + 2b = 1$$ 2. **Es un extremo relativo:** $f'(2) = 0$. Sustituyendo en la derivada con $c=0$: $$3a(2)^2 + 2b(2) + 0 = 0 \implies 12a + 4b = 0$$ Simplificando la ecuación (dividiendo entre 4): $$3a + b = 0 \implies b = -3a$$ $$\boxed{4a + 2b = 1, \quad 3a + b = 0}$$

Ahora resolvemos el sistema formado por las dos ecuaciones anteriores: $$\begin{cases} 4a + 2b = 1 \\ b = -3a \end{cases}$$ Sustituimos la segunda ecuación en la primera: $$4a + 2(-3a) = 1$$ $$4a - 6a = 1 \implies -2a = 1 \implies a = -\frac{1}{2}$$ Calculamos ahora el valor de $b$: $$b = -3\left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable comprobar los resultados sustituyendo los valores obtenidos en la función original para verificar que cumplen todas las condiciones del enunciado. Los valores calculados son: $$\boxed{a = -\frac{1}{2}, \quad b = \frac{3}{2}, \quad c = 0, \quad d = 0}$$

La función buscada es: $$f(x) = -\frac{1}{2}x^3 + \frac{3}{2}x^2$$ Podemos verificar visualmente que la función pasa por $(0,0)$ y $(2,2)$, y que en ambos puntos presenta un máximo o mínimo (tangente horizontal). En el siguiente gráfico se observa el comportamiento de la función calculada: