Recta paralela a un plano que corta a un eje

Para resolver este problema, identificamos primero los elementos conocidos: 1. El punto por el que pasa la recta: $A(1, 1, -1)$. 2. El plano al que la recta es paralela: $\pi \equiv x - y + z = 1$. Su vector normal es $\vec{n_\pi} = (1, -1, 1)$. 3. El eje de coordenadas al que corta: el eje $Z$. Cualquier punto que pertenezca al eje $Z$ tiene la forma $P(0, 0, k)$, donde $k$ es un parámetro real. 💡 **Tip:** Recuerda que el vector normal de un plano $Ax + By + Cz + D = 0$ viene dado por los coeficientes de las variables: $\vec{n} = (A, B, C)$.

Llamemos $r$ a la recta que buscamos. Sabemos que pasa por $A(1, 1, -1)$ y corta al eje $Z$ en un punto $P(0, 0, k)$. El vector director de la recta $r$, que llamaremos $\vec{v_r}$, será el vector que une los puntos $A$ y $P$: $$\vec{v_r} = \vec{AP} = P - A = (0 - 1, 0 - 1, k - (-1)) = (-1, -1, k + 1)$$ 💡 **Tip:** Para obtener el vector entre dos puntos $P_1$ y $P_2$, restamos sus coordenadas: $\vec{P_1P_2} = (x_2-x_1, y_2-y_1, z_2-z_1)$.

Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\pi$, su vector director $\vec{v_r}$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi}$. Matemáticamente, esto significa que el producto escalar de ambos vectores debe ser igual a cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$$ Sustituimos los vectores y operamos: $$(-1, -1, k + 1) \cdot (1, -1, 1) = 0$$ $$(-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) + (k + 1) \cdot 1 = 0$$ $$-1 + 1 + k + 1 = 0$$ $$k + 1 = 0 \implies \mathbf{k = -1}$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, el vector director de la recta está "contenido" en la dirección del plano, por lo que es ortogonal al vector que pincha perpendicularmente al plano (el normal).

Ahora que conocemos el valor de $k$, podemos determinar el punto de corte $P$ y el vector director $\vec{v_r}$: - El punto de corte con el eje $Z$ es $P(0, 0, -1)$. - El vector director es $\vec{v_r} = (-1, -1, -1 + 1) = (-1, -1, 0)$. Para facilitar los cálculos, podemos usar un vector proporcional a $\vec{v_r}$ cambiando el signo: $$\vec{v_r} = (1, 1, 0)$$ $$\boxed{\vec{v_r} = (1, 1, 0), \quad A(1, 1, -1)}$$

Con el punto $A(1, 1, -1)$ y el vector director $\vec{v_r}(1, 1, 0)$, podemos expresar la recta $r$ en sus diferentes formas. Por ejemplo, en ecuaciones paramétricas: $$r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = -1 \end{cases}$$ O en forma continua: $$r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{1}; \quad z = -1$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{r \equiv \begin{cases} x - y = 0 \\ z = -1 \end{cases}}$$ (Nota: Se ha expresado en forma implícita despejando las anteriores, pero cualquier forma es válida).