Sistemas de ecuaciones lineales con parámetros

**(a) [1'25 puntos] Resuelve el sistema de ecuaciones $\begin{cases} x + z = 2 \\ -x + y + 2z = 0 \\ -x + 2y + 5z = 2 \end{cases}$** Primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \\ -1 & 2 & 5 \end{pmatrix}; \quad A^* = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 & | & 2 \\ -1 & 1 & 2 & | & 0 \\ -1 & 2 & 5 & | & 2 \end{pmatrix}$$ Calculamos el determinante de $A$ por la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 1 \cdot 5) + (0 \cdot 2 \cdot (-1)) + (1 \cdot (-1) \cdot 2) - [ (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (0 \cdot (-1) \cdot 5) + (1 \cdot 2 \cdot 2) ]$$ $$|A| = (5 + 0 - 2) - (-1 + 0 + 4) = 3 - 3 = 0.$$ Como el determinante es $0$, el rango de $A$ es menor que $3$. Buscamos un menor de orden $2$ no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rango}(A) = 2.$$ Ahora estudiamos el rango de $A^*$ comprobando el determinante de una submatriz que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \end{vmatrix} = (2 + 0 - 4) - (-2 + 0 + 0) = -2 + 2 = 0.$$ Como todos los determinantes de orden $3$ en $A^*$ son nulos, el $\text{rango}(A^*) = 2$. 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, si $\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) < n$ (donde $n$ es el número de incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones).

Para resolverlo, eliminamos la tercera ecuación (que es combinación lineal de las otras) y nos quedamos con las dos primeras, utilizando $z = t$ como parámetro: $$\begin{cases} x + z = 2 \\ -x + y + 2z = 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x = 2 - t \\ -x + y = -2t \end{cases}$$ Sustituimos $x$ en la segunda ecuación: $$-(2 - t) + y = -2t \implies -2 + t + y = -2t \implies y = 2 - 3t.$$ Las soluciones dependen del parámetro real $t$: $$\begin{cases} x = 2 - t \\ y = 2 - 3t \\ z = t \end{cases} \quad \text{con } t \in \mathbb{R}$$ ✅ **Resultado (a):** $$\boxed{(x, y, z) = (2-t, 2-3t, t) \quad \forall t \in \mathbb{R}}$$

**(b) [1'25 puntos] Calcula $\lambda$ sabiendo que el siguiente sistema tiene alguna solución común con el del apartado (a) $\begin{cases} x + y + z = 1 \\ -x + y + 3z = 1 \\ x + 2y + \lambda z = -3 \end{cases}$** Si el segundo sistema tiene una solución común con el primero, esta debe tener la forma $(2-t, 2-3t, t)$. Sustituimos estas expresiones en las ecuaciones del segundo sistema para encontrar el valor de $t$. Usamos la primera ecuación del segundo sistema: $$(2-t) + (2-3t) + t = 1$$ $$4 - 3t = 1 \implies -3t = -3 \implies t = 1.$$ Comprobamos si este valor de $t=1$ es coherente con la segunda ecuación: $$-(2-1) + (2-3(1)) + 3(1) = -1 - 1 + 3 = 1.$$ Como $1 = 1$, la solución común ocurre cuando $t=1$. Calculamos las coordenadas del punto de intersección: $$x = 2 - 1 = 1$$ $$y = 2 - 3(1) = -1$$ $$z = 1$$ La solución común es el punto **$(1, -1, 1)$**. 💡 **Tip:** Una solución común significa que el punto debe satisfacer todas las ecuaciones de ambos sistemas simultáneamente.

Para que el punto $(1, -1, 1)$ sea solución del segundo sistema, debe satisfacer también la tercera ecuación: $$x + 2y + \lambda z = -3$$ Sustituimos los valores hallados: $$1 + 2(-1) + \lambda(1) = -3$$ $$1 - 2 + \lambda = -3$$ $$-1 + \lambda = -3$$ $$\lambda = -3 + 1 = -2.$$ Por tanto, para que exista al menos una solución común, el valor de $\lambda$ debe ser $-2$. ✅ **Resultado (b):** $$\boxed{\lambda = -2}$$