Integral por partes y área entre curvas

**(a) [1'25 puntos] Calcula $\int x \operatorname{sen} x dx$.** Para resolver esta integral utilizaremos el método de **integración por partes**. Elegimos los términos siguiendo la regla **ALPES**: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \operatorname{sen} x \, dx \implies v = \int \operatorname{sen} x \, dx = -\cos x$ Aplicamos la fórmula de integración por partes: $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$ Sustituimos los valores: $$\int x \operatorname{sen} x \, dx = x(-\cos x) - \int (-\cos x) \, dx$$ $$-x \cos x + \int \cos x \, dx$$ $$-x \cos x + \operatorname{sen} x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla mnemotécnica "Un Valiente Soldado Vestido De Uniforme" para la integración por partes. En este caso, $u=x$ es una función polinómica y $dv=\operatorname{sen} x$ es trigonométrica. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\int x \operatorname{sen} x \, dx = -x \cos x + \operatorname{sen} x + C}$$

**(b) [1'25 puntos] Sean las funciones $f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$, definidas por $f(x) = -x^2 + 1, \; g(x) = x - 1$. Calcula el área del recinto limitado por sus gráficas.** Para hallar el área del recinto limitado por las gráficas, primero debemos encontrar los puntos donde se cortan igualando ambas funciones $f(x) = g(x)$: $$-x^2 + 1 = x - 1$$ $$-x^2 - x + 2 = 0$$ $$x^2 + x - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Los puntos de corte son: $$x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ 💡 **Tip:** Estos valores de $x$ serán los límites de integración para el cálculo del área.

Debemos integrar la diferencia de las funciones en el intervalo $[-2, 1]$. Para saber qué función está por encima, evaluamos en un punto intermedio, por ejemplo $x=0$: - $f(0) = -0^2 + 1 = 1$ - $g(0) = 0 - 1 = -1$ Como $f(0) > g(0)$, la función $f(x)$ queda por encima de $g(x)$ en el intervalo estudiado. El área es: $$A = \int_{-2}^{1} (f(x) - g(x)) \, dx = \int_{-2}^{1} [(-x^2 + 1) - (x - 1)] \, dx$$ $$A = \int_{-2}^{1} (-x^2 - x + 2) \, dx$$ Calculamos la primitiva: $$F(x) = \int (-x^2 - x + 2) \, dx = -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x$$ Aplicamos la **Regla de Barrow**: $$A = \left[ -\frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-2}^{1}$$ $$A = F(1) - F(-2)$$ $$F(1) = -\frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 2 = \frac{-2 - 3 + 12}{6} = \frac{7}{6}$$ $$F(-2) = -\frac{(-2)^3}{3} - \frac{(-2)^2}{2} + 2(-2) = \frac{8}{3} - \frac{4}{2} - 4 = \frac{8}{3} - 6 = \frac{8 - 18}{3} = -\frac{10}{3}$$ Finalmente: $$A = \frac{7}{6} - \left( -\frac{10}{3} \right) = \frac{7}{6} + \frac{20}{6} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2} \text{ u}^2$$ 💡 **Tip:** El área siempre debe ser un valor positivo. Si el resultado es negativo, probablemente se han intercambiado los límites o el orden de las funciones. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 4,5 \text{ unidades cuadradas}}$$