Cálculo de parámetros para que una función sea derivable

Para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser **continua** en dicho punto. Analizamos la continuidad de $f(x)$ en $x=1$. Una función es continua en $x=x_0$ si los límites laterales coinciden con el valor de la función: 1. $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (-x^2 + bx + 1) = -(1)^2 + b(1) + 1 = b$. 2. $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (ax^2 - 5x + 2a) = a(1)^2 - 5(1) + 2a = 3a - 5$. 3. $f(1) = -(1)^2 + b(1) + 1 = b$. Para que sea continua, imponemos la igualdad: $$b = 3a - 5 \implies 3a - b = 5 \quad \text{(Ecuación 1)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la derivabilidad implica continuidad, pero la continuidad no siempre implica derivabilidad.

Calculamos la derivada de la función en las ramas donde está definida (para $x \neq 1$): $$f'(x) = \begin{cases} -2x + b & \text{si } x < 1 \\ 2ax - 5 & \text{si } x > 1 \end{cases}$$ Para que la función sea derivable en $x=1$, las derivadas laterales en ese punto deben coincidir: 1. Derivada por la izquierda: $f'(1^-) = \lim_{x \to 1^-} (-2x + b) = -2 + b$. 2. Derivada por la derecha: $f'(1^+) = \lim_{x \to 1^+} (2ax - 5) = 2a - 5$. Igualamos ambas expresiones: $$-2 + b = 2a - 5 \implies 2a - b = 3 \quad \text{(Ecuación 2)}$$ 💡 **Tip:** No hables de "empalme" de las funciones, hablamos de la existencia del límite de la función derivada en el punto de salto entre ramas.

Resolvemos el sistema formado por la **Ecuación 1** (continuidad) y la **Ecuación 2** (derivabilidad): $$\begin{cases} 3a - b = 5 \\ 2a - b = 3 \end{cases}$$ Restamos la segunda ecuación a la primera para eliminar $b$: $$(3a - b) - (2a - b) = 5 - 3$$ $$a = 2$$ Sustituimos $a=2$ en la segunda ecuación para hallar $b$: $$2(2) - b = 3 \implies 4 - b = 3 \implies b = 1$$ Los valores que hacen que la función sea derivable en toda la recta real son **$a = 2$** y **$b = 1$**. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = 2, \quad b = 1}$$