Planos paralelos y ortogonales que contienen una recta

**(a) [1'25 puntos] Determina la ecuación del plano paralelo a $\pi$ que contiene a $r$.** Primero, identificamos los elementos característicos de los objetos geométricos dados: Del plano $\pi: 3x - 2y - 2z = 7$, obtenemos su vector normal: $$\vec{n}_{\pi} = (3, -2, -2)$$ De la recta $r: \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 2}{2}$, obtenemos un punto $P_r$ y su vector director $\vec{v}_r$: $$P_r(2, -1, 2), \quad \vec{v}_r = (2, 1, 2)$$ Para que exista un plano paralelo a $\pi$ que contenga a $r$, la recta $r$ debe ser paralela al plano $\pi$. Esto ocurre si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_{\pi} = (2)(3) + (1)(-2) + (2)(-2) = 6 - 2 - 4 = 0$$ Como el producto escalar es 0, la recta es paralela (o está contenida) en el plano $\pi$. En este caso, como el punto $P_r(2, -1, 2)$ no cumple la ecuación de $\pi$ ($3(2)-2(-1)-2(2) = 6+2-4 = 4 \neq 7$), la recta es estrictamente paralela.

Un plano $\pi'$ paralelo a $\pi$ tendrá el mismo vector normal $\vec{n}_{\pi} = (3, -2, -2)$. Su ecuación será de la forma: $$3x - 2y - 2z + D = 0$$ Como el plano debe contener a la recta $r$, debe contener al punto $P_r(2, -1, 2)$. Sustituimos el punto en la ecuación para hallar $D$: $$3(2) - 2(-1) - 2(2) + D = 0$$ $$6 + 2 - 4 + D = 0 \implies 4 + D = 0 \implies D = -4$$ Por tanto, la ecuación del plano buscado es: $$\boxed{3x - 2y - 2z - 4 = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos planos paralelos tienen coeficientes $A, B, C$ proporcionales en su ecuación general $Ax + By + Cz + D = 0$.

**(b) [1'25 puntos] Halla la ecuación del plano ortogonal a $\pi$ que contiene a $r$.** Llamemos $\pi_2$ al nuevo plano. Para que $\pi_2$ sea ortogonal a $\pi$ y contenga a $r$, su vector normal $\vec{n}_{\pi_2}$ debe ser perpendicular simultáneamente a: 1. El vector normal de $\pi$: $\vec{n}_{\pi} = (3, -2, -2)$. 2. El vector director de $r$: $\vec{v}_r = (2, 1, 2)$. Calculamos $\vec{n}_{\pi_2}$ mediante el producto vectorial: $$\vec{n}_{\pi_2} = \vec{v}_r \times \vec{n}_{\pi} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante: $$\vec{n}_{\pi_2} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & -2 \end{vmatrix}$$ $$\vec{n}_{\pi_2} = \vec{i} (-2 - (-4)) - \vec{j} (-4 - 6) + \vec{k} (-4 - 3)$$ $$\vec{n}_{\pi_2} = 2\vec{i} + 10\vec{j} - 7\vec{k}$$ El vector normal del plano buscado es **$\vec{n}_{\pi_2} = (2, 10, -7)$**.

Utilizamos el vector normal $\vec{n}_{\pi_2} = (2, 10, -7)$ y el punto $P_r(2, -1, 2)$ que pertenece a la recta $r$ (y por tanto al plano): La ecuación del plano es: $$2(x - 2) + 10(y - (-1)) - 7(z - 2) = 0$$ $$2(x - 2) + 10(y + 1) - 7(z - 2) = 0$$ Desarrollamos los paréntesis: $$2x - 4 + 10y + 10 - 7z + 14 = 0$$ $$2x + 10y - 7z + 20 = 0$$ 💡 **Tip:** Para que un plano contenga a una recta, su vector normal debe ser perpendicular al vector director de la recta y el plano debe pasar por cualquier punto de dicha recta. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{2x + 10y - 7z + 20 = 0}$$