Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**(a) [1'75 puntos] Discútelo según los valores del parámetro $\lambda$.** En primer lugar, escribimos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) del sistema: $$A = \begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & \lambda & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ \lambda & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema utilizaremos el **Teorema de Rouché-Frobenius**, que relaciona el rango de estas matrices con el número de incógnitas ($n=3$).

Calculamos el determinante de la matriz $A$ para hallar los valores críticos de $\lambda$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & \lambda & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ \lambda & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ Aplicando la regla de Sarrus: $$|A| = (1 \cdot 3 \cdot 1) + (\lambda \cdot 1 \cdot \lambda) + (1 \cdot 1 \cdot 1) - [(\lambda \cdot 3 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 1) + (1 \cdot \lambda \cdot 1)]$$ $$|A| = (3 + \lambda^2 + 1) - (3\lambda + 1 + \lambda) = \lambda^2 + 4 - 4\lambda - 1 = \lambda^2 - 4\lambda + 3$$ Igualamos el determinante a cero para ver cuándo el rango de $A$ es menor que 3: $$\lambda^2 - 4\lambda + 3 = 0 \implies \lambda = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2}$$ Esto nos da los valores: **$\lambda = 3$** y **$\lambda = 1$**. 💡 **Tip:** El rango de la matriz de coeficientes será máximo (3) siempre que el determinante sea distinto de cero.

Si $\lambda$ toma cualquier valor distinto de $1$ y $3$, entonces el determinante $|A| \neq 0$. Esto implica que: $$\text{rang}(A) = 3 = \text{rang}(A^*) = n\text{ (nº de incógnitas)}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado**, lo que significa que tiene una **solución única**. ✅ **Resultado (Caso $\lambda \neq 1, 3$):** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Determinado (SCD)}}$$

Para $\lambda = 3$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 3 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 3 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Ya sabemos que $|A| = 0$, por lo que $\text{rang}(A) < 3$. Si miramos las dos primeras filas, observamos que los coeficientes son iguales pero los términos independientes son diferentes ($x+3y+z=4$ y $x+3y+z=5$), lo cual es una contradicción. Formalmente, el rango de $A$ es 2 ya que el menor $\begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 3-1 = 2 \neq 0$. Estudiamos el rango de $A^*$ con un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 3 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = (12+5+12) - (4+15+12) = 29 - 31 = -2 \neq 0$$ Como $\text{rang}(A) = 2 \neq \text{rang}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado (Caso $\lambda = 3$):** $$\boxed{\text{Sistema Incompatible (SI)}}$$

Para $\lambda = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 4 \\ 1 & 3 & 1 & 5 \\ 1 & 1 & 1 & 4 \end{array}\right)$$ Observamos que la primera y la tercera fila son idénticas, por lo que una de ellas es redundante. El rango de $A$ es 2 ya que el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3-1 = 2 \neq 0$. Dado que la fila 3 es igual a la fila 1, el rango de la matriz ampliada $A^*$ también es 2. $$\text{rang}(A) = 2 = \text{rang}(A^*) < n=3$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Indeterminado**, con un grado de libertad. ✅ **Resultado (Caso $\lambda = 1$):** $$\boxed{\text{Sistema Compatible Indeterminado (SCI)}}$$

**(b) [0'75 puntos] Resuélvelo en el caso $\lambda = 1$.** Como hemos visto, para $\lambda = 1$ el sistema es compatible indeterminado. Eliminamos la tercera ecuación por ser idéntica a la primera y trabajamos con: $$\begin{cases} x + y + z = 4 \\ x + 3y + z = 5 \end{cases}$$ Para resolverlo, restamos la primera ecuación a la segunda: $$(x + 3y + z) - (x + y + z) = 5 - 4 \implies 2y = 1 \implies y = \frac{1}{2}$$ Sustituimos $y = \frac{1}{2}$ en la primera ecuación: $$x + \frac{1}{2} + z = 4 \implies x + z = \frac{7}{2}$$ Parametrizamos una de las variables, por ejemplo $z = \mu$, con $\mu \in \mathbb{R}$: $$x = \frac{7}{2} - \mu$$ 💡 **Tip:** En un SCI con $n=3$ y rango=2, la solución depende de un parámetro (grado de libertad). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = \left( \frac{7}{2} - \mu, \frac{1}{2}, \mu \right), \quad \mu \in \mathbb{R}}$$