Área entre funciones: raíz y parábola

**(a) [0'5 puntos] Haz un esbozo de sus gráficas.** Para realizar el esbozo y calcular el área posteriormente, primero debemos hallar los puntos donde ambas funciones se intersecan. Para ello, igualamos $f(x) = g(x)$: $$\sqrt{3x} = \frac{1}{3}x^2$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$(\sqrt{3x})^2 = \left(\frac{1}{3}x^2\right)^2 \implies 3x = \frac{1}{9}x^4$$ Multiplicamos por 9 y llevamos todo a un lado de la ecuación: $$27x = x^4 \implies x^4 - 27x = 0$$ Factorizamos la expresión: $$x(x^3 - 27) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles: 1. $x = 0$ 2. $x^3 = 27 \implies x = \sqrt[3]{27} = 3$ Calculamos las ordenadas correspondientes: - Para $x=0$: $f(0) = \sqrt{0} = 0$. Punto **$(0,0)$**. - Para $x=3$: $f(3) = \sqrt{3 \cdot 3} = 3$. Punto **$(3,3)$**. 💡 **Tip:** Al elevar al cuadrado en una ecuación radical, siempre es recomendable verificar que las soluciones obtenidas cumplen la ecuación original para evitar raíces falsas.

Para el esbozo, analizamos la naturaleza de las funciones: - $f(x) = \sqrt{3x}$ es la rama positiva de una parábola horizontal, definida para $x \ge 0$. - $g(x) = \frac{1}{3}x^2$ es una parábola vertical convexa con vértice en el origen $(0,0)$. Ambas funciones parten del origen y se vuelven a encontrar en el punto $(3,3)$. Entre $x=0$ y $x=3$, la función radical $f(x)$ queda por encima de la parábola $g(x)$ (podemos comprobarlo evaluando en $x=1$: $f(1) = \sqrt{3} \approx 1.73$ y $g(1) = 1/3 \approx 0.33$). **Representación gráfica:**

**(b) [2 puntos] Calcula el área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones.** El área $A$ del recinto limitado por dos funciones entre sus puntos de corte $x=a$ y $x=b$ viene dada por la integral definida de la diferencia de las funciones: $$A = \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx$$ En nuestro caso, como $f(x) \ge g(x)$ en el intervalo $[0, 3]$, planteamos: $$A = \int_{0}^{3} \left( \sqrt{3x} - \frac{1}{3}x^2 \right) dx$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para integrar raíces, es más sencillo escribirlas como potencias de exponente fraccionario: $\sqrt{3x} = \sqrt{3} \cdot x^{1/2}$.

Calculamos la integral indefinida: $$\int \left( \sqrt{3} x^{1/2} - \frac{1}{3} x^2 \right) dx = \sqrt{3} \frac{x^{3/2}}{3/2} - \frac{1}{3} \frac{x^3}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3} x\sqrt{x} - \frac{x^3}{9}$$ Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** en el intervalo $[0, 3]$: $$A = \left[ \frac{2\sqrt{3}}{3} x\sqrt{x} - \frac{x^3}{9} \right]_{0}^{3}$$ Evaluamos en el límite superior ($x=3$): $$F(3) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 3\sqrt{3} - \frac{3^3}{9} = 2 \cdot (\sqrt{3})^2 - \frac{27}{9} = 2 \cdot 3 - 3 = 6 - 3 = 3$$ Evaluamos en el límite inferior ($x=0$): $$F(0) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot 0 - \frac{0}{9} = 0$$ Por tanto, el área es: $$A = F(3) - F(0) = 3 - 0 = 3$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = 3 \text{ unidades}^2}$$ 💡 **Tip:** La regla de Barrow establece que $\int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$, donde $F(x)$ es cualquier primitiva de $f(x)$.