Continuidad con parámetros y asíntotas horizontales

**(a) [1'25 puntos] Sabiendo que $f$ es continua, calcula $a$ ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).** Para que la función $f$ sea continua en $x = 1$, debe cumplirse que el límite de la función cuando $x$ tiende a 1 coincida con el valor de la función en ese punto: $$\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = a$$ Calculamos el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{x(\ln x)^2}{(x - 1)^2}$$ Al sustituir $x = 1$, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$, por lo que aplicaremos la **regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar L'Hôpital debemos derivar el numerador y el denominador de forma independiente.

Derivamos el numerador $N(x) = x(\ln x)^2$ y el denominador $D(x) = (x - 1)^2$: - $N'(x) = 1 \cdot (\ln x)^2 + x \cdot 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} = (\ln x)^2 + 2\ln x$ - $D'(x) = 2(x - 1)$ Sustituimos en el límite: $$\lim_{x \to 1} \frac{(\ln x)^2 + 2\ln x}{2(x - 1)}$$ Al volver a sustituir $x = 1$, obtenemos de nuevo $\frac{0 + 0}{0}$, es decir, $\frac{0}{0}$. Aplicamos L'Hôpital por segunda vez.

Derivamos de nuevo: - $N''(x) = 2(\ln x) \cdot \frac{1}{x} + \frac{2}{x} = \frac{2\ln x + 2}{x}$ - $D''(x) = 2$ Calculamos el límite final: $$\lim_{x \to 1} \frac{\frac{2\ln x + 2}{x}}{2} = \frac{\frac{2\ln(1) + 2}{1}}{2} = \frac{2}{2} = 1$$ Como la función es continua, el valor de $a$ debe ser igual al límite obtenido. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 1}$$

**(b) [1'25 puntos] Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función. En caso de que exista, determina su ecuación.** El dominio de la función es $(0, +\infty)$, por lo que solo estudiaremos la asíntota horizontal cuando $x \to +\infty$. Calculamos el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x(\ln x)^2}{(x - 1)^2}$$ Sustituyendo, obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{\infty}{\infty}$. Podemos simplificar el análisis observando el comportamiento de los grados. El denominador $(x - 1)^2$ se comporta como $x^2$ en el infinito. $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x(\ln x)^2}{x^2 - 2x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x(\ln x)^2}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x}$$ 💡 **Tip:** Existe una jerarquía de crecimiento: las funciones exponenciales crecen más rápido que las potencias, y estas más rápido que los logaritmos. Por tanto, este límite tiende a 0.

Para ser rigurosos, aplicamos L'Hôpital al límite $\lim_{x \to +\infty} \frac{(\ln x)^2}{x}$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln x \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2\ln x}{x}$$ Como sigue siendo $\frac{\infty}{\infty}$, aplicamos L'Hôpital una vez más: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{x}}{1} = \frac{0}{1} = 0$$ Como el límite es una constante real, existe una asíntota horizontal. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 0 \text{ es asíntota horizontal cuando } x \to +\infty}$$