Geometría en el espacio: Posiciones relativas y construcción de rectas y planos

**(a) [1'25 puntos] Halla la ecuación del plano que pasa por $P$, es paralelo a $r$ y es perpendicular a $\pi$.** Antes de comenzar con los apartados, necesitamos extraer los vectores directores y normales de los elementos dados. Para la recta $r$, dada como intersección de dos planos, podemos obtener su vector director $\vec{d}_r$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (1, -2, 0), \quad \vec{n}_2 = (0, 1, 1)$$ $$\vec{d}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(-2 - 0) - \vec{j}(1 - 0) + \vec{k}(1 - 0) = (-2, -1, 1)$$ Para facilitar los cálculos, podemos usar el vector opuesto: $\vec{d}_r = (2, 1, -1)$. Para el plano $\pi: 2x + y + 3z - 1 = 0$, su vector normal es: $$\vec{n}_\pi = (2, 1, 3)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta en implícitas también se puede obtener pasando la recta a paramétricas asignando $\lambda$ a una de las variables.

Buscamos un plano $\alpha$ que pase por $P(1, 0, -2)$, sea paralelo a $r$ y perpendicular a $\pi$. - Si el plano es paralelo a $r$, el vector director de la recta $\vec{d}_r$ es uno de los vectores directores del plano. - Si el plano es perpendicular a $\pi$, el vector normal de $\pi$, $\vec{n}_\pi$, es el otro vector director del plano. Por tanto, el vector normal de nuestro plano $\alpha$, que llamaremos $\vec{n}_\alpha$, será el producto vectorial de ambos: $$\vec{n}_\alpha = \vec{d}_r \times \vec{n}_\pi = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_\alpha = \vec{i}(3 - (-1)) - \vec{j}(6 - (-2)) + \vec{k}(2 - 2) = 4\vec{i} - 8\vec{j} + 0\vec{k} = (4, -8, 0)$$ Podemos simplificar este vector normal dividiendo entre $4$, obteniendo $\vec{n}_\alpha = (1, -2, 0)$.

Utilizamos la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$ con el vector normal $(1, -2, 0)$: $$1x - 2y + 0z + D = 0 \implies x - 2y + D = 0$$ Como el plano pasa por $P(1, 0, -2)$, sustituimos sus coordenadas para hallar $D$: $$1 - 2(0) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ ✅ **Resultado (ecuación del plano):** $$\boxed{x - 2y - 1 = 0}$$

**(b) [1'25 puntos] Halla la ecuación de la recta que pasa por $P$, corta a $r$ y es paralela a $\pi$.** Llamemos $s$ a la recta buscada. Esta recta debe cumplir tres condiciones: 1. Pasa por $P(1, 0, -2)$. 2. Es paralela a $\pi$. Esto significa que su vector director $\vec{d}_s$ debe ser perpendicular al vector normal de $\pi$, es decir, $\vec{d}_s \cdot \vec{n}_\pi = 0$. 3. Corta a $r$. Para que $s$ pase por $P$ y sea paralela a $\pi$, todos sus puntos deben estar en un plano $\beta$ que pase por $P$ y sea paralelo a $\pi$. Calculamos la ecuación de dicho plano auxiliar $\beta$: Como es paralelo a $\pi$, tiene el mismo vector normal $\vec{n}_\pi = (2, 1, 3)$. $$2(x - 1) + 1(y - 0) + 3(z + 2) = 0$$ $$2x - 2 + y + 3z + 6 = 0 \implies 2x + y + 3z + 4 = 0$$ 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, está contenida en algún plano paralelo al original.

Como la recta $s$ debe cortar a $r$ y $s$ está contenida en el plano $\beta$, el punto de intersección entre $s$ y $r$ debe ser el punto donde la recta $r$ corta al plano $\beta$. Llamemos a este punto $Q$. Expresamos la recta $r$ en paramétricas a partir de su definición original: $$\begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ Sustituimos estas coordenadas en la ecuación de $\beta$: $$2(1 + 2\lambda) + (\lambda) + 3(2 - \lambda) + 4 = 0$$ $$2 + 4\lambda + \lambda + 6 - 3\lambda + 4 = 0$$ $$2\lambda + 12 = 0 \implies \lambda = -6$$ Calculamos las coordenadas de $Q$: $$Q = (1 + 2(-6), -6, 2 - (-6)) = (-11, -6, 8)$$ 💡 **Tip:** El punto de corte entre una recta y un plano se halla siempre sustituyendo las ecuaciones paramétricas de la recta en la ecuación implícita del plano.

La recta $s$ es la que pasa por $P(1, 0, -2)$ y $Q(-11, -6, 8)$. Su vector director $\vec{d}_s$ será el vector $\vec{PQ}$: $$\vec{d}_s = \vec{PQ} = (-11 - 1, -6 - 0, 8 - (-2)) = (-12, -6, 10)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo entre $-2$: $$\vec{d}_s = (6, 3, -5)$$ La ecuación continua de la recta es: ✅ **Resultado (ecuación de la recta):** $$\boxed{\frac{x - 1}{6} = \frac{y}{3} = \frac{z + 2}{-5}}$$