Inversa de una matriz y ecuaciones matriciales

**(a) [1 punto] Calcula, si existe, la matriz inversa de $A$.** Para que una matriz cuadrada $A$ tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero ($|A| \neq 0$). Calculamos el determinante de $A = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$: $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = (3 \cdot 2) - (7 \cdot 1) = 6 - 7 = -1.$$ Como $|A| = -1 \neq 0$, la matriz **$A$ es regular y posee inversa ($A^{-1}$)**. 💡 **Tip:** El determinante de una matriz $2 \times 2$ se calcula restando el producto de la diagonal secundaria al producto de la diagonal principal.

Utilizamos el método de la matriz adjunta: $$A^{-1} = \frac{1}{|A|} \cdot (Adj(A))^t$$ 1. Hallamos la matriz de adjuntos $Adj(A)$ calculando el menor complementario de cada elemento con su signo correspondiente: - $A_{11} = 2$ - $A_{12} = -1$ - $A_{21} = -7$ - $A_{22} = 3$ $$Adj(A) = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ -7 & 3 \end{pmatrix}$$ 2. Calculamos la traspuesta de la adjunta: $$(Adj(A))^t = \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$ 3. Dividimos por el determinante $|A| = -1$: $$A^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 2 & -7 \\ -1 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{A^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3 \end{pmatrix}}$$

**(b) [1'5 puntos] Calcula las matrices $X$ e $Y$ que satisfacen las ecuaciones matriciales $XA = A + 2B$ y $AY = A + 2B$.** Empezamos despejando $X$ en la ecuación $XA = A + 2B$. Multiplicamos por $A^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$X A A^{-1} = (A + 2B) A^{-1}$$ $$X \cdot I = (A + 2B) A^{-1} \implies X = (A + 2B) A^{-1}$$ Primero calculamos la matriz suma $C = A + 2B$: $$C = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -4 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2 & -6 \\ -8 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos $C \cdot A^{-1}$: $$X = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5(-2) + 1(1) & 5(7) + 1(-3) \\ -7(-2) + 6(1) & -7(7) + 6(-3) \end{pmatrix}$$ $$X = \begin{pmatrix} -10 + 1 & 35 - 3 \\ 14 + 6 & -49 - 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -9 & 32 \\ 20 & -67 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden de los factores es fundamental porque el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$). ✅ **Resultado (matriz $X$):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -9 & 32 \\ 20 & -67 \end{pmatrix}}$$

Para la ecuación $AY = A + 2B$, despejamos $Y$ multiplicando por $A^{-1}$ por la **izquierda**: $$A^{-1} A Y = A^{-1} (A + 2B)$$ $$I \cdot Y = A^{-1} (A + 2B) \implies Y = A^{-1} (A + 2B)$$ Ya conocemos $A^{-1}$ y la matriz $(A + 2B) = \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6 \end{pmatrix}$ del paso anterior: $$Y = \begin{pmatrix} -2 & 7 \\ 1 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -7 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2(5) + 7(-7) & -2(1) + 7(6) \\ 1(5) + (-3)(-7) & 1(1) + (-3)(6) \end{pmatrix}$$ $$Y = \begin{pmatrix} -10 - 49 & -2 + 42 \\ 5 + 21 & 1 - 18 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -59 & 40 \\ 26 & -17 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz $Y$):** $$\boxed{Y = \begin{pmatrix} -59 & 40 \\ 26 & -17 \end{pmatrix}}$$