Recta tangente y área bajo la curva logarítmica

**(a) [1 punto] Comprueba que la recta de ecuación $y = 1 + \frac{1}{e}x$ es la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto de abscisa $x = e$.** La ecuación de la recta tangente a la gráfica de $f$ en el punto $x=a$ viene dada por: $$y - f(a) = f'(a)(x - a)$$ En este caso, tenemos $a = e$. Calculamos primero el valor de la función y de su derivada en dicho punto: 1. **Valor de la función en $x=e$:** $$f(e) = 1 + \ln(e) = 1 + 1 = 2.$$ 2. **Valor de la derivada en $x=e$:** Derivamos $f(x) = 1 + \ln(x)$: $$f'(x) = \frac{1}{x} \implies f'(e) = \frac{1}{e}.$$ Sustituimos en la fórmula de la recta tangente: $$y - 2 = \frac{1}{e}(x - e)$$ $$y - 2 = \frac{1}{e}x - \frac{e}{e} \implies y - 2 = \frac{1}{e}x - 1$$ $$y = 1 + \frac{1}{e}x$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\ln(e) = 1$ y que la derivada del logaritmo neperiano es $\frac{1}{x}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y = 1 + \frac{1}{e}x}$$ Efectivamente, coincide con la recta propuesta en el enunciado.

**(b) [1'5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de $f$, el eje de abscisas y la recta tangente del apartado (a).** Para calcular el área, primero identificamos los puntos donde la curva, la recta y el eje $X$ ($y=0$) se cruzan. 1. **Corte de la función $f(x)$ con el eje $X$:** $$1 + \ln(x) = 0 \implies \ln(x) = -1 \implies x = e^{-1} = \frac{1}{e}.$$ 2. **Corte de la recta tangente $y = 1 + \frac{x}{e}$ con el eje $X$:** $$1 + \frac{x}{e} = 0 \implies \frac{x}{e} = -1 \implies x = -e.$$ 3. **Corte entre la función y la recta tangente:** Ya sabemos por el apartado (a) que se tocan en $x = e$ (punto de tangencia). El recinto está limitado superiormente por la recta tangente y su base inferior cambia en $x = \frac{1}{e}$ (antes es el eje $X$ y después es la función $f$).

El recinto es una región limitada por tres líneas. Podemos verla como el área de un triángulo formado por la recta tangente y el eje $X$, al cual le restaremos el trozo que queda por debajo de la curva $f(x)$. - El **triángulo** tiene vértices en $(-e, 0)$, $(e, 0)$ y $(e, 2)$. - La **curva** $f(x)$ limita el área desde $x = 1/e$ hasta $x = e$. La integral que define el área total $A$ es: $$A = \int_{-e}^{e} \left( 1 + \frac{1}{e}x \right) dx - \int_{1/e}^{e} (1 + \ln x) dx$$ O de forma geométrica directa: $$A = \text{Área del triángulo} - \int_{1/e}^{e} f(x) dx$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=1+\\ln x", "color": "#2563eb" }, { "id": "t", "latex": "y=1+\\frac{x}{e}", "color": "#ef4444" }, { "id": "eje", "latex": "y=0", "color": "#111827" }, { "id": "reg1", "latex": "0 \\le y \\le 1+\\frac{x}{e} \\{-e \\le x \\le 1/e\\}", "color": "#93c5fd" }, { "id": "reg2", "latex": "1+\\ln x \\le y \\le 1+\\frac{x}{e} \\{1/e \\le x \\le e\\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 4, "bottom": -1, "top": 3 } } }

Calculamos por separado ambas partes: 1. **Área bajo la recta tangente (Triángulo):** La base va de $x = -e$ a $x = e$ (longitud $2e$) y la altura en $x=e$ es $y=2$. $$\text{Área}_1 = \frac{\text{base} \cdot \text{altura}}{2} = \frac{2e \cdot 2}{2} = 2e \text{ u}^2$$ 2. **Área bajo la curva $f(x)$ desde $1/e$ hasta $e$:** Calculamos la primitiva de $\int (1 + \ln x) dx$: Sabemos que $\int \ln x dx = x \ln x - x$. Por tanto: $$\int (1 + \ln x) dx = x + (x \ln x - x) = x \ln x$$ Aplicamos la regla de Barrow: $$\int_{1/e}^{e} (1 + \ln x) dx = \left[ x \ln x \right]_{1/e}^{e} = (e \ln e) - \left( \frac{1}{e} \ln \frac{1}{e} \right)$$ Como $\ln e = 1$ y $\ln(1/e) = -1$: $$(e \cdot 1) - \left( \frac{1}{e} \cdot (-1) \right) = e + \frac{1}{e}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral del logaritmo se resuelve por partes: $u = \ln x, dv = dx$.

Restamos los valores obtenidos para hallar el área del recinto acotado: $$A = 2e - \left( e + \frac{1}{e} \right)$$ $$A = 2e - e - \frac{1}{e} = e - \frac{1}{e}$$ Podemos expresar el resultado final de forma exacta: ✅ **Resultado:** $$\boxed{A = e - \frac{1}{e} \approx 2.3504 \text{ u}^2}$$