Estudio de continuidad, derivabilidad y extremos de una función con valor absoluto

Para estudiar la función $f(x) = x^2 |x - 3|$, primero debemos desglosar el valor absoluto siguiendo su definición: $$|x - 3| = \begin{cases} -(x - 3) & \text{si } x < 3 \\ x - 3 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$ Multiplicando por $x^2$, obtenemos la función definida a trozos: $$f(x) = \begin{cases} -x^3 + 3x^2 & \text{si } x < 3 \\ x^3 - 3x^2 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre que veas un valor absoluto en una función que requiere derivar o estudiar continuidad, el primer paso es expresarla como una función a trozos definiendo los intervalos según el signo del argumento del valor absoluto.

**(a) [1 punto] Estudia la continuidad y derivabilidad de $f$.** La función está compuesta por dos funciones polinómicas en los intervalos $(-\infty, 3)$ y $(3, +\infty)$, por lo que es continua en ellos. Solo debemos estudiar la continuidad en el punto de salto **$x = 3$**. Calculamos los límites laterales y el valor de la función: 1. $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3} (-x^3 + 3x^2) = -27 + 3(9) = 0$ 2. $\lim_{x \to 3^+} f(x) = \lim_{x \to 3} (x^3 - 3x^2) = 27 - 3(9) = 0$ 3. $f(3) = 3^3 - 3(3^2) = 0$ Como $\lim_{x \to 3^-} f(x) = \lim_{x \to 3^+} f(x) = f(3)$, la función es **continua en $x = 3$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es continua en todo } \mathbb{R}}$$

Calculamos la derivada de la función en las ramas abiertas: $$f'(x) = \begin{cases} -3x^2 + 6x & \text{si } x < 3 \\ 3x^2 - 6x & \text{si } x > 3 \end{cases}$$ Para comprobar si es derivable en **$x = 3$**, calculamos las derivadas laterales: - Derivada por la izquierda: $f'(3^-) = -3(3)^2 + 6(3) = -27 + 18 = -9$ - Derivada por la derecha: $f'(3^+) = 3(3)^2 - 6(3) = 27 - 18 = 9$ Como $f'(3^-) \neq f'(3^+)$, la función **no es derivable en $x = 3$** (existe un punto anguloso). 💡 **Tip:** Recuerda que para que una función sea derivable en un punto, primero debe ser continua en dicho punto y sus derivadas laterales deben coincidir. ✅ **Resultado:** $$\boxed{f(x) \text{ es derivable en } \mathbb{R} \setminus \{3\}}$$

**(b) [1'5 puntos] Estudia el crecimiento y decrecimiento de $f$. Calcula sus extremos relativos.** Buscamos los puntos donde la derivada es cero ($f'(x) = 0$) en cada rama: **Rama $x < 3$:** $-3x^2 + 6x = 0 \implies -3x(x - 2) = 0 \implies \mathbf{x = 0} \text{ y } \mathbf{x = 2}$. Ambos puntos pertenecen al intervalo $(-\infty, 3)$. **Rama $x > 3$:** $3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0 \implies x = 0, x = 2$. Ninguno de estos valores pertenece al intervalo $(3, +\infty)$. Además, incluimos el punto **$x = 3$** donde la derivada no existe, ya que puede haber un cambio de monotonía.

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos $x=0, x=2, x=3$: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty, 0) & 0 & (0, 2) & 2 & (2, 3) & 3 & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & \nexists & + \\ f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \max & \searrow & \min & \nearrow \end{array}$$ - **Intervalos de crecimiento:** $(0, 2) \cup (3, +\infty)$ - **Intervalos de decrecimiento:** $(-\infty, 0) \cup (2, 3)$ Calculamos los valores de los extremos sustituyendo en $f(x)$: - Mínimo relativo en $x=0$: $f(0) = 0^2 |0-3| = 0$. Punto **$(0, 0)$**. - Máximo relativo en $x=2$: $f(2) = 2^2 |2-3| = 4 \cdot 1 = 4$. Punto **$(2, 4)$**. - Mínimo relativo en $x=3$: $f(3) = 3^2 |3-3| = 0$. Punto **$(3, 0)$**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{matrix} \text{Creciente: } (0, 2) \cup (3, +\infty) \\ \text{Decreciente: } (-\infty, 0) \cup (2, 3) \\ \text{Máximo: } (2, 4) \\ \text{Mínimos: } (0, 0) \text{ y } (3, 0) \end{matrix}}$$