Posición relativa de dos rectas y perpendicularidad

**(a) [1 punto] Estudia la posición relativa de ambas rectas.** Primero, obtenemos un punto y un vector director de la recta $r$. La recta viene dada como intersección de dos planos. Para pasar a paramétricas, podemos resolver el sistema en función de un parámetro: Sea $y = \lambda$, entonces de las ecuaciones: 1) $x + \lambda = 2 \implies x = 2 - \lambda$ 2) $\lambda + z = 0 \implies z = -\lambda$ Las ecuaciones paramétricas de $r$ son: $$r: \begin{cases} x = 2 - \lambda \\ y = \lambda \\ z = -\lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: $P_r(2, 0, 0)$ - El vector director: $\vec{d_r} = (-1, 1, -1)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas también puedes hacer el producto vectorial de los vectores normales de los planos para hallar el vector director.

La recta $s$ pasa por los puntos $A(2, 1, 0)$ y $B(1, 0, -1)$. Su vector director será el vector que une ambos puntos: $$\vec{d_s} = \vec{AB} = B - A = (1-2, 0-1, -1-0) = (-1, -1, -1)$$ Tomamos como punto de la recta el punto $A(2, 1, 0)$. Las ecuaciones paramétricas de $s$ son: $$s: \begin{cases} x = 2 - \mu \\ y = 1 - \mu \\ z = -\mu \end{cases}$$ Elementos de $s$: - Punto: $A(2, 1, 0)$ - Vector director: $\vec{d_s} = (-1, -1, -1)$ (que es equivalente a $(1, 1, 1)$)

Para estudiar la posición relativa, comparamos los vectores directores y analizamos el determinante formado por los vectores directores y un vector que una ambas rectas, como $\vec{P_r A}$. 1. **¿Son paralelos?** Comprobamos si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{-1}{-1} \neq \frac{1}{-1}$$ No son proporcionales, por lo que las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Se cortan o se cruzan. 2. **Estudio del determinante:** Calculamos el vector $\vec{P_r A} = A - P_r = (2-2, 1-0, 0-0) = (0, 1, 0)$. Analizamos el rango de la matriz formada por $\{\vec{d_r}, \vec{d_s}, \vec{P_r A}\}$ calculando su determinante: $$|M| = \begin{vmatrix} -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera fila (Sarrus): $$|M| = 0 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix} + 0 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}$$ $$|M| = -( (-1)(-1) - (-1)(-1) ) = -(1 - 1) = 0$$ Como el determinante es $0$ y los vectores directores no son paralelos, el rango es $2$, lo que significa que los vectores son coplanarios. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ e } s \text{ se cortan en un punto.}}$$

**(b) [1'5 puntos] Determina un punto $C$ de la recta $r$ tal que los segmentos $\overline{CA}$ y $\overline{CB}$ sean perpendiculares.** Como $C$ pertenece a la recta $r$, sus coordenadas deben satisfacer las ecuaciones paramétricas halladas en el apartado anterior: $$C(2 - \lambda, \lambda, -\lambda)$$ Buscamos que los segmentos $\overline{CA}$ y $\overline{CB}$ sean perpendiculares, lo cual equivale a decir que sus vectores directores asociados son perpendiculares. Su producto escalar debe ser cero: $$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$$ Calculamos los vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$: $$\vec{CA} = A - C = (2 - (2-\lambda), 1 - \lambda, 0 - (-\lambda)) = (\lambda, 1 - \lambda, \lambda)$$ $$\vec{CB} = B - C = (1 - (2-\lambda), 0 - \lambda, -1 - (-\lambda)) = (\lambda - 1, -\lambda, \lambda - 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ son perpendiculares si y solo si $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.

Planteamos la ecuación del producto escalar: $$(\lambda, 1 - \lambda, \lambda) \cdot (\lambda - 1, -\lambda, \lambda - 1) = 0$$ $$\lambda(\lambda - 1) + (1 - \lambda)(-\lambda) + \lambda(\lambda - 1) = 0$$ Operamos cada término: $$\lambda^2 - \lambda + (-\lambda + \lambda^2) + \lambda^2 - \lambda = 0$$ $$3\lambda^2 - 3\lambda = 0$$ Factorizamos la ecuación de segundo grado: $$3\lambda(\lambda - 1) = 0$$ Obtenemos dos posibles valores para $\lambda$: 1) $3\lambda = 0 \implies \lambda_1 = 0$ 2) $\lambda - 1 = 0 \implies \lambda_2 = 1$ Existen, por tanto, dos puntos en la recta $r$ que cumplen la condición.

Sustituimos los valores de $\lambda$ en el punto genérico $C(2 - \lambda, \lambda, -\lambda)$: - Para **$\lambda_1 = 0$**: $$C_1 = (2 - 0, 0, -0) = (2, 0, 0)$$ - Para **$\lambda_2 = 1$**: $$C_2 = (2 - 1, 1, -1) = (1, 1, -1)$$ El enunciado pide determinar "un punto", por lo que cualquiera de los dos es válido, aunque indicaremos ambos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{C(2, 0, 0) \text{ o } C(1, 1, -1)}$$