Sistema de ecuaciones: Reparto de cajas de pescado

Para resolver el problema, primero definimos las variables que representan las cantidades desconocidas de cajas en cada mercado: - $x$: número de cajas compradas en el primer mercado. - $y$: número de cajas compradas en el segundo mercado. - $z$: número de cajas compradas en el tercer mercado. A partir del enunciado, planteamos las siguientes ecuaciones: 1. **Total de cajas:** $x + y + z = 1500$ 2. **Coste total de la operación:** $30x + 20y + 40z = 40500$ 3. **Cajas en el primer mercado:** El enunciado indica que en el primero se ha comprado el $30\%$ del total: $x = 0.30 \cdot 1500$ 💡 **Tip:** En problemas de contexto, es fundamental leer bien qué representa cada variable y fijarse en si nos piden el número de unidades (cajas) o el valor monetario (euros).

Calculamos directamente el valor de $x$ utilizando el porcentaje dado sobre el total de cajas compradas: $$x = 0.30 \cdot 1500 = 450$$ Ahora que conocemos $x$, podemos sustituir este valor en las otras dos ecuaciones para reducir el sistema a dos incógnitas ($y$ y $z$): Sustituyendo en la primera ecuación: $$450 + y + z = 1500 \implies y + z = 1050$$ Sustituyendo en la segunda ecuación: $$30(450) + 20y + 40z = 40500$$ $$13500 + 20y + 40z = 40500$$ $$20y + 40z = 27000$$ Simplificamos la última ecuación dividiendo entre $20$ para facilitar los cálculos: $$y + 2z = 1350$$ ✅ **Sistema simplificado:** $$\begin{cases} y + z = 1050 \\ y + 2z = 1350 \end{cases}$$

Utilizamos el método de **reducción** (restándole la primera ecuación a la segunda) para hallar el valor de $z$: $$(y + 2z) - (y + z) = 1350 - 1050$$ $$z = 300$$ Una vez obtenido $z$, calculamos $y$ sustituyendo en la ecuación $y + z = 1050$: $$y + 300 = 1050 \implies y = 1050 - 300 = 750$$ Por tanto, la cantidad de cajas compradas en cada mercado es: - Mercado 1: **450 cajas** - Mercado 2: **750 cajas** - Mercado 3: **300 cajas**

El enunciado nos pide **cuánto ha pagado la empresa en cada mercado**, por lo que debemos multiplicar el número de cajas por su precio unitario respectivo: 1. **Mercado 1 (30 €/caja):** $$450 \cdot 30 = 13500 \text{ euros}$$ 2. **Mercado 2 (20 €/caja):** $$750 \cdot 20 = 15000 \text{ euros}$$ 3. **Mercado 3 (40 €/caja):** $$300 \cdot 40 = 12000 \text{ euros}$$ Comprobación del coste total: $13500 + 15000 + 12000 = 40500$ €. Es correcto. 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de responder exactamente a lo que pregunta el enunciado. Aquí no basta con dar el número de cajas. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Pagó 13500 € en el primer mercado, 15000 € en el segundo y 12000 € en el tercero}}$$